El Sol y la Tierra como agujeros negros

En ciencia hay preguntas que pueden resultar, en un principio, un tanto descabelladas, incluso ociosas o sin sentido. Sin embargo, quien piense así poca idea tiene acerca de cómo funciona o qué es realmente la ciencia. No hay pregunta irrelevante, no existen cuestiones triviales, la frontera del conocimiento siempre está más allá de nuestra curiosidad.

Si algo caracteriza a este blog es que en él se plantean preguntas de estas a las que aludo en el párrafo anterior. Pero aún hay más, dichas cuestiones van sobre todo dirigidas a la gente más joven (que no cunda el pánico, a los mayores también os quiero), a los estudiantes o a los chavales con una mínima curiosidad. Con ellas pretendo que puedan salirse de los ambientes y contextos excesivamente restringidos a que se encuentran sujetos en sus clases, donde han de ceñirse a unos programas enormemente estereotipados, siempre con los mismos ejemplos, monótonos ejercicios donde abundan planos inclinados y poleas, cuerdas, muelles y otras cosas exasperantemente aburridas y que no logran captar sus intereses. Además, las cuestiones que plantea El Tercer Precog sirven para que esos chavales puedan aplicar las mismas leyes físicas que estudian en sus clases pero a casos prácticos mucho más estimulantes, más desafiantes y en los que se pueden desenvolver con mayor entusiasmo.

Entre estos problemas o ejercicios, uno que suele aparecer profusamente en los libros de texto es el que tiene que ver con el tiempo de viaje que emplearía una persona que se lanzase a través de un túnel que atravesara la Tierra a lo largo de un diámetro (y que ya traté en mi libro La guerra de dos mundos). La forma usual de resolver la cuestión consiste en determinar que el tipo de movimiento seguido por el viajero (un ejemplo cinematográfico reciente de esta situación lo podéis encontrar en la película de 2012 Desafío total (Total Recall, 2012)) a lo largo de su caída es lo que los físicos llamamos un movimiento armónico simple. Esto significa que la aceleración con la que cae la persona varía proporcionalmente a su distancia al centro de la Tierra. Así, cuanto más cerca esté del centro de nuestro planeta, tanto menor será dicha aceleración; en cambio, ésta será máxima en la superficie. Si se asume que la densidad de la Tierra permanece constante en todo punto de su interior (corteza, manto y núcleo incluidos) la solución del enigma es prácticamente inmediata, sin más que llevar a cabo unas cuantas manipulaciones algebraicas al alcance de cualquier chaval de Bachillerato. Resultado: 21 minutos y 7 segundos, aproximadamente.

Un procedimiento que solemos seguir muy habitualmente los científicos cuando intentamos resolver un problema es comenzar, en un primer paso, por un caso sencillo, despojado de complicaciones innecesarias, y para el que la solución se pueda obtener de forma más o menos rápida o inmediata. A continuación, el segundo paso consiste en ir añadiendo poco a poco complicaciones que hagan la solución más completa o próxima a la realidad. En el caso expuesto en el párrafo anterior, el del viaje a través de la Tierra, la solución se puede afinar aún más si se abandona la suposición de que la densidad de nuestro planeta es constante. Así, tal y como ya hice en mi libro La guerra de dos mundos, admitiendo un modelo en el que las densidades del manto y el núcleo son constantes pero distintas, el tiempo de viaje hasta el centro es de 19 minutos y 28 segundos, es decir, un minuto y 39 segundos menos que antes.

Puede que a estas alturas muchos os estéis preguntando qué tiene que ver todo lo anterior con el título del post y eso de los agujeros negros, el Sol y la Tierra. Enseguida os cuento.

Veréis, si sois aficionados a la divulgación científica y os da por leer algún que otro libro, blog, web, revista, etc., habréis visto seguramente en más de una ocasión la siguiente pregunta: ¿qué tamaño tendría el Sol si se convirtiese en un agujero negro? La misma cuestión suele aparecer, asimismo, para la Tierra. La respuesta tiene que ver con lo que se denomina el radio de Schwarzschild, que depende de la masa del objeto que se transforma en agujero negro. En el caso del Sol, algo menos de 6 km de diámetro, para la Tierra apenas 2 cm. Si, de alguna manera, fuésemos capaces de comprimir hasta esos tamaños el Sol o la Tierra, éstos se convertirían automáticamente en agujeros negros y ni siquiera la luz podría escapar a sus campos gravitatorios.

Ahora bien, y aquí viene la respuesta a la pregunta de la relación entre el título del post y los viajes a través de un diámetro de la Tierra comentados más arriba. Está muy bien preguntarse por el tamaño del radio de Schwarzschild o, lo que es lo mismo, del horizonte de sucesos, que tendrían el Sol y la Tierra si colapsasen hasta devenir en sendos agujeros negros. Pero, ¿cuánto tiempo tardarían en acontecer semejantes cataclismos? La respuesta a esta pregunta es más sencilla de lo que puede parecer a simple vista. Veamos.

En términos sencillos, una objeto cualquiera se convierte en agujero negro cuando toda su masa comienza a colapsar hasta acabar en su centro, donde la densidad se hace infinita. Pues bien, suponed que aislamos del resto una porción cualquiera de esa masa, y tan pequeña como queramos, que se encuentre sobre la superficie de la Tierra y la dejamos caer libremente hasta el centro del planeta. Visto de esta manera, el tiempo empleado en el colapso total coincidirá con el tiempo que calculamos antes para el viajero en llegar hasta el centro mismo de la Tierra en su viaje a lo largo del hipotético túnel. Por tanto, nuestro querido planeta tardaría exactamente el mismo tiempo calculado antes en convertirse en un agujero negro de 9 mm de radio: alrededor de 20 minutos.

Lo bonito de la física es que todo lo que hemos visto para la Tierra es exactamente igual de válido para el Sol. Efectivamente, si en lugar de haber practicado el túnel a lo largo de un diámetro terrestre lo hubiésemos hecho a lo largo de un diámetro solar, todas las conclusiones obtenidas antes serían trasladables al caso que nos ocupa. Un viaje a lo largo de un diámetro solar llevaría al osado viajero nada menos que 42 minutos hasta su mismo centro, donde encontraría una temperatura aproximada de 15 millones de grados. Con un razonamiento completamente similar al de antes, concluimos que el Sol tardaría también 42 minutos en colapsar hasta convertirse en un agujero negro de 6 km de diámetro.

Pero esto no es todo. Me gustaría deciros aún algo más. ¿Qué pasa si sois un chaval que todavía no se maneja con soltura con las matemáticas que requiere el movimiento armónico simple? Os contaré un secreto, incluso se puede determinar el tiempo del colapso de forma aproximada (un tanto burda, eso sí, por lo que no debéis darle demasiada importancia) con tan sólo conocer la ley de la gravitación universal, la segunda ley de Newton y las definiciones de velocidad y aceleración. ¿Que no? Leed y lo comprobaréis.

Imaginad por un momento que la única fuerza a la que se encuentra sometido el Sol es la gravitatoria (esto es, imaginad que ha dejado de generar energía a base de la fusión nuclear y, por tanto, ha comenzado a colapsar bajo su propio peso). Volved a fijaros en una porción de materia cualquiera situada en la superficie de nuestra estrella. La fuerza gravitatoria a la que está sometida viene dada por la ley de la gravitación universal, ¿correcto? Como esta es la única fuerza en acción, deberá ser igual al producto de la masa de dicha porción por su aceleración de caída hacia el centro (segunda ley de Newton).

F = G M m/R² = m a

donde M y R son, respectivamente, la masa y el radio del Sol.

Por tanto:

a = G M/R²

Ahora bien, como todo chaval sabe, la aceleración se puede expresar como la variación de la velocidad por unidad de tiempo y, a su vez, la velocidad se puede expresar como la variación de la distancia por unidad de tiempo. Con lo cual:

a = R/t²

Igualando las dos expresiones anteriores, se llega inmediatamente a que:

t² = R³/G M

Sustituyendo en ella los valores conocidos de cada uno de los tres parámetros, se obtiene que el tiempo de colapso solar es de unos 27 minutos, segundo arriba o abajo. Evidentemente, debido a la sencillez del modelo asumido, esta cifra se diferencia del cálculo más afinado realizado en el caso de movimiento armónico simple, que resultaba ser de 42 minutos. Para la Tierra, el nuevo valor sería de 13 minutos y 24 segundos, en lugar de los 21 minutos del modelo armónico simple. Para los puntillosos y los que pretendan ir un poquito más allá: el factor de proporcionalidad entre las dos cifras obtenidas con los dos modelos siempre es igual a pi/2. Podéis comprobarlo aquí. Newton rules!

¿Cuánto tiempo tarda en caer a tierra un satélite artificial?

Diseñar y construir un satélite artificial no es un asunto excesivamente complicado, hay cosas mucho más difíciles como aprobar el examen de física en el que te preguntan cómo diseñar y construir un satélite artificial. De hecho, desde hace algo más de una década muchas universidades han desarrollado pequeños satélites, tanto con propósitos educativos como de investigación. Sin embargo, antes de ser lanzados y puestos en órbita, sus diseñadores han de ser capaces de demostrar que sus ingenios espaciales han de poder permanecer en su sitio un máximo de 25 años antes de caer nuevamente a tierra. Todo artefacto que se mantenga en órbita pero no esté operativo, es decir, haya concluido la misión para la que fue dispuesto, se considera "basura espacial". En la actualidad existen unos 8000 de estos objetos dando vueltas alrededor de nuestro planeta.

Transcurrido un cierto tiempo y debido a la interacción del satélite con la atmósfera terrestre, que ejerce un efecto de fricción considerable, aquel acaba por hacer una re-entrada y, como consecuencia de su elevada velocidad, puede incinerarse total o parcialmente y terminar por caer al suelo, algo que constituye un tema de interés público por razones evidentes.

En este post trataré de contar de la forma más sencilla posible cómo se puede estimar de forma aproximada, y utilizando conocimientos que todos hemos adquirido durante nuestra educación secundaria, el tiempo que transcurre desde que es lanzado a su órbita hasta que se precipita sobre la superficie de la Tierra. Resulta obvio que el tiempo real se puede calcular de formas mucho más precisas y así lo hacen, en efecto, los ingenieros de la NASA o la ESA, pero sus resultados no difieren enormemente de los que un chaval de 16-18 años puede obtener y esto puede constituir un elemento de motivación nada despreciable en los tiempos que corren.

Bien, comenzaré. Lo primero que se puede hacer es simplificar el problema que se pretende resolver, una técnica habitual en ciencia y más en física. Consideraré, pues, que nuestro satélite en cuestión tiene forma cúbica y que describe una órbita circular alrededor de la Tierra. Además, y aquí radica la diferencia principal con los casos sencillos que se consideran habitualmente en las aulas de nuestros hijos, el rozamiento juega un papel esencial en la resolución de nuestro problema, ya que es precisamente la causa de que el satélite acabe su vida orbital.

Por lo tanto, las dos únicas fuerzas que actúan sobre el satélite en órbita son: la fuerza de la gravedad (esto es, su peso, ejercido por la Tierra) y la fuerza de arrastre o rozamiento (ejercida por la atmósfera). La primera es de sobras conocida, y viene dada por la célebre ley de la gravitación universal de Newton. La segunda no resulta tan conocida por los chavales de Secundaria, pero sin más que consultar cualquier manual avanzado (no demasiado) se puede comprobar que también es empleada a menudo en situaciones muy diversas.

donde cd recibe el nombre de coeficiente de arrastre, una cantidad que depende de la forma geométrica del satélite; A es el área de la superficie que se enfrenta al aire (en nuestro caso, una de las caras del cubo, es decir, un cuadrado; los otros dos factres son la densidad del aire y la velocidad del satélite artificial. Una vez conocidas las formas precisas de ambas fuerzas, tan sólo es necesario aplicar la segunda ley de Newton de la mecánica para obtener la posición del satélite en cada instante de tiempo. Desafortunadamente, la ecuación resultante y su resolución quedan fuera del alcance de los conocimientos básicos de los estudiantes de nuestros colegios e institutos. Pero que no cunda el pánico, ya que para algo se estudian métodos alternativos y nuestros profesores, tan maltratados, ignorados y vilipendiados por la sociedad de mierda y tiquismiquis en la que vivimos, vienen al rescate. Todos los que somos profesores sabemos que en no pocas situaciones hemos sido asaltados por nuestros alumnos cuando les explicamos que existe otra forma de resolver los problemas de mecánica sin acudir directamente a la segunda ley de Newton. ¿Cuál es esa otra forma? Pues ni más ni menos que la MARAVILLOSA e INCOMPARABLE ley de conservación de la energía.

En efecto, esta ley viene a decir que si estimamos las energías cinéticas (debidas al movimiento del satélite), y las energías potenciales gravitatorias (debidas a la fuerza de atracción gravitatoria ejercida por la Tierra) en dos posiciones diferentes del satélite (por ejemplo, a dos distancias diferentes de la Tierra, como r_A y r_B en la figura) y las comparamos veremos que no coinciden. Y la diferencia entre ellas es justamente la energía perdida a causa de la fricción con la atmósfera, es decir, la energía que se ha "llevado" la fuerza D de arrastre.

Entonces, únicamente resta utilizar aquello que aprendimos los mayores hace tantos años de que la potencia (la velocidad con la que cambia la energía) es igual al producto de la fuerza por la velocidad para llegar a la expresión:

Para poder escribir la ecuación anterior hemos tenido que hacer dos suposiciones, a saber: primero, que la velocidad del satélite entre las posiciones A y B es aproximadamente constante (obviamente, esto no es cierto, porque de serlo el satélite no caería) e igual al valor medio de las mismas a esas distancias precisamente. Y segundo, que la densidad de la atmósfera solamente depende de la altura y tiene un valor constante entre las posiciones A y B. Resulta obvio decir que sería de enorme ayuda disponer de una tabla (esto constituye un buen ejercicio de investigación para los chavales) en la que se mostrasen los valores de las altitudes, las densidades del aire a dichas altitudes y las velocidades del satélite también a esas altitudes, que vienen dadas por:

Así, para un satélite en forma cúbica, con c_d = 1,05 y de 1 kg de masa, 10 cm de arista e inicialmente situado en una órbita a 600 km de la Tierra, se obtiene que el tiempo empleado en precipitarse al suelo desde la fecha de su lanzamiento asciende a 31,75 años. Como ilustración se puede decir que de estos casi 32 años, 17,66 corresponden al tiempo de caída entre los 600 km y los 550 km; entre los 550 km y los 500 km emplea otos 8,11 años; 3,57 años para caer entre 500 km y 450 km; 1,5 años entre los 450 km y los 400 km de altura; y así, sucesivamente. Por ejemplo, entre los 200 km de altura y los 150 km tan sólo tarda en caer 24 horas y de los 150 km hasta los 100 km únicamente 6 minutos. Por debajo de los 100 km de altura el satélite suele arder y/o fragmentarse.

Finalmente, podemos decir que los cálculos de la NASA para el caso de un satélite como el que acabamos de considerar arrojan un valor del tiempo de caída estimado de solamente 18 años, es decir, poco más de un 56 % de nuestro valor. Esta discrepancia se debe a efectos no tenidos en cuenta, como pueden ser la presión de radiación ejercida por el Sol sobre el satélite o la actividad geomagnética, entre otros. Otra buena oportunidad para que nuestros estudiantes amplíen sus conocimientos e intenten ir más allá de donde nosotros, los profesores, les hemos dejado. ¡Ay del discípulo que no supere a su maestro!

Fuente original:

Antonio Lira, How long does it take for a satellite to fall to Earth? Physics Education, Vol. 50, 71 (2015)