El péndulo de la muerte: ¿ficción o realidad?

“Tanteando en la mampostería que bordeaba el pozo logré desprender un fragmento menudo y lo tiré al abismo. Durante largos segundos escuché cómo repercutía al golpear en su descenso las paredes del pozo; hubo, por fin, un chapoteo en el agua, al cual sucedieron sonoros ecos.”

El fragmento anterior corresponde a uno de los relatos breves más célebres de Edgar Allan Poe: El pozo y el péndulo (The pit and the pendulum) publicado en 1842. En él se narra la aterradora experiencia de un hombre anónimo sentenciado a muerte durante la oscura época de la Inquisición española.

A lo largo de las breves pero intensas páginas que conforman el relato se describen las dramáticas sensaciones por las que pasa el protagonista, condenado a una terrible tortura. Encerrado en lo más profundo y oscuro de una cripta, una cuerda pende fija del techo oscilando de un lado a otro, como si se tratase del péndulo de un antiguo reloj de pared, en cuyo extremo móvil se encuentra una enorme hoja afilada en forma de media luna.

“Yacía ahora de espaldas, completamente estirado, sobre una especie de bastidor de madera.”

De esta guisa, atado firmemente, excepto por uno de sus brazos, que le permite acceder con cierta dificultad al plato de comida, el hombre va observando con horror cómo el péndulo va descendiendo paulatinamente hasta que por fin selle su terrorífico destino para siempre.

“Mirando hacia arriba observé el techo de mi prisión. Tendría unos treinta o cuarenta pies de alto, y su construcción se asemejaba a la de los muros.”

Bien, como esto de los pies es una unidad de longitud un tanto anglosajona, consideraré que la mazmorra tenía una altura de algo más de 10 metros (10 metros exactamente desde el techo hasta el tórax del prisionero y unas cuantas decenas de centímetros más desde éste hasta el suelo, contando con el espesor de su cuerpo y la altura del bastidor de madera sobre el que se encontraba tumbado).

En cuanto al tamaño del cubículo, también disponemos de una vaga descripción por parte del protagonista. En uno de los párrafos afirma lo siguiente:

“Mucho me había equivocado sobre su tamaño. El circuito completo de los muros no pasaba de unas veinticinco yardas [...] Mi prisión tenía forma cuadrada.”

¡Vaya! Ya estamos otra vez con las puñeteras unidades que no son del Sistema Internacional. En fin, admitiré que el lado del cuadrado era de 5 metros de longitud, es decir, la cuchilla podía oscilar horizontalmente a cada lado no más de 2,5 metros desde su posición natural de equilibrio, la vertical.

Al principio, el hombre observa el péndulo en las alturas, relativamente lejos de su alcance, pero...

“Habría pasado una media hora, quizá una hora entera […] antes de volver a fijar los ojos en lo alto. […] La carrera del péndulo había aumentado, aproximadamente, en una yarda. Como consecuencia natural, su velocidad era mucho mayor. Pero lo que me perturbó fue la idea de que el péndulo había descendido perceptiblemente.”

Ahora es cuando os tengo que recordar que desempolvéis vuestros olvidados conocimientos de física, en concreto, el requete-archi-repetido péndulo simple. ¿Os viene a la memoria? Bueno, pues lo más relevante de este dispositivo, formado por una cuerda en cuyo extremo oscilante se coloca un pequeño objeto sin masa denominado, comúnmente, lenteja, es que su período no depende en absoluto de la amplitud angular, sino únicamente de la longitud de la cuerda. ¿Qué significa esto? Pues que si utilizáis siempre el mismo péndulo pero lo dejáis oscilar soltándolo desde posiciones distintas (más cerca o más lejos de la posición vertical, como os apetezca) comprobaréis que el tiempo que tarda en recorrer una oscilación completa, de un extremo al otro y vuelta de nuevo a la posición inicial, es siempre el mismo (a este lapso de tiempo se le denomina período del péndulo, y el ángulo que forma la cuerda con la vertical recibe el nombre de amplitud angular). Solamente conseguiréis que el período aumente si incrementáis la longitud de la cuerda (análogamente, que disminuya el período acortando la longitud de la misma).

Según esto, la pregunta que surge es la siguiente: ¿se comporta el péndulo del relato de Edgar A. Poe como un péndulo simple? Obviamente, la respuesta es no, como vosotros mismos podéis deducir de lo dicho por el reo dos párrafos más arriba. No hay manera de que descendiendo el péndulo perceptiblemente, es decir, de que aumentando su longitud, la carrera de aquél aumente a su vez. Así pues, ¿cómo solucionar esta cuestión?

Veamos, la forma más fácil que se me ocurre de salir del aprieto en que os he puesto es decir la verdad y la verdad no es otra que ésta: vuestros profesores os engañaron. Los péndulos simples no existen. En realidad, lo que vuestros profesores os explicaron en su día es que un péndulo se comporta, aproximadamente, como simple cuando la amplitud angular es pequeña, esto es, cuando lo dejáis oscilar soltándolo desde una posición muy cerquita de la vertical. En este caso, la ecuación matemática que rige su comportamiento se puede simplificar notablemente y su resolución es extremadamente sencilla, y es la que casi todos conocéis. Sin embargo, la ecuación rigurosa, la verdadera, para entendernos, resulta algo más compleja, al igual que su solución.

Bien, intentemos solucionar la ecuación rigurosa, la buena, la que describe las oscilaciones de un péndulo que no se comporta como simple. En la literatura científica se pueden hallar expresiones analíticas exactas para la solución de la ecuación anterior, pero involucran a las denominadas funciones de Bessel y no me detendré ahora en ellas. En cambio, sí que resulta mucho más interesante resolver el problema de forma numérica, es decir, acudiendo a las simulaciones mediante el empleo de un ordenador y un software adecuado.

Figura 1

Cuando se procede de esta manera, es necesario hacer ciertas suposiciones que sean razonables. Una de estas suposiciones consiste en admitir que la velocidad a la que aumenta la longitud del péndulo es constante. Al hacer esto, se comprueba inmediatamente que aunque la distancia horizontal que recorre la cuchilla que pende del extremo de la cuerda va aumentando lentamente (Figura 1: el eje de abscisas representa la distancia horizontal recorrida por la cuchilla, mientras que el eje de ordenadas da cuenta de la longitud de la cuerda. Mirad la gráfica de arriba abajo y veréis las oscilaciones del péndulo a medida que desciende y cómo la distancia horizontal alcanzada por la hoja asesina aumenta lentamente), no sucede lo mismo con la amplitud angular, la cual disminuye ostensiblemente a medida que va transcurriendo el tiempo (Figura 2: el eje de abscisas representa el tiempo en segundos y el eje de ordenadas el ángulo descrito por el péndulo respecto a la vertical. Se ve fácilmente la rápida disminución de la amplitud angular con el tiempo, es decir, a medida que el péndulo va descendiendo hacia el condenado). Por poner unos números que ilustren lo dicho, imaginemos que la longitud de la cuerda crece a un ritmo constante de 10 centímetros cada segundo. Si el péndulo que amenaza la vida del prisionero tuviese una longitud inicial de 10 metros (y daos cuenta de que esta longitud es ya la más pesimista, la que despedazaría a nuestro protagonista, según afirmamos más arriba, en base a sus propias estimaciones visuales) y lo soltásemos desde una posición que formase un ángulo justo por encima de unos 57º (1 radián) con la vertical, al cabo de tan sólo dos minutos, la amplitud angular habría descendido hasta la mitad, unos 28º. Mientras tanto, la distancia a la que habría descendido la cuchilla se habría incrementado hasta los 22 metros.

Figura 2

Una vez llegados a este punto, parece que el relato de Poe no se ajusta excesivamente a los resultados que nos proporcionan las simulaciones mediante ordenador. Así como en unas partes del texto el condenado admite que el péndulo ha descendido perceptiblemente en una media hora, quizá una hora, más adelante podemos leer lo siguiente:

“Pulgada a pulgada, con un descenso que sólo podía apreciarse después de intervalos que parecían siglos…, más y más íbase aproximando. Pasaron días, puede ser que muchos días, antes de que oscilara tan cerca de mí que parecía abanicarme con su acre aliento. [...] Ya pasaba vibrando a tres pulgadas de mi pecho.”

El párrafo anterior parece contradecir el "perceptible" descenso del péndulo en otro momento de la narración en tan sólo unos cuantos minutos. De hecho, admitiendo el caso más benévolo en el párrafo previo, o sea, que hubiesen transcurrido únicamente dos días, la velocidad de descenso de la cuchilla rondaría los 19 centímetros por hora. ¿A qué se debe esta discordancia? ¿Constituye una mera licencia literaria del autor? ¿Es el resultado de la, comprensiblemente, perturbada mente y errónea percepción del tiempo por parte del prisionero, a punto de encontrarse cara a cara con la muerte? ¿O puede explicarse físicamente, de alguna manera?

Me centraré en este último interrogante, como no puede ser de otra forma en un blog dedicado a la física. ¿Qué esperabais? Para soluciones relacionadas con la psicología podéis acudir a sitios menos divertidos y más apropiados.

Me vais a permitir que os sugiera una solución un tanto retorcida y algo sofisticada para que el comportamiento del péndulo del relato se aproxime a la realidad del relato de Poe. Para ello, os vuelvo a pedir que hagáis un poco de memoria y retrocedáis por un momento a vuestra infancia. Cerrad los ojos e imaginaos que estáis subidos en un columpio del parque. Comenzáis a impulsaros y queréis ir cada vez más arriba en vuestro alucinante viajecito. ¿Qué hacíais? ¿No estirabais las piernas cuando llegabais al punto más alto y después las encogíais, las plegabais al pasar por la vertical? ¿Y no veis una semejanza manifiesta entre un columpio y el péndulo mortal y la cuchilla del relato que nos ocupa? Pues eso...

Figura 3

Bien, imaginemos entonces que los malvados inquisidores han dispuesto un dispositivo consistente en hacer pasar la cuerda del péndulo por un pequeño orificio practicado en el techo de la cripta y que dicho dispositivo está equipado con un mecanismo que tira de la cuerda hacia arriba cuando la cuchilla pasa por la posición vertical, mientras que permite que la cuerda se deslice hacia abajo, soltándola, y aumente de longitud cuando pasa por ambos extremos de la oscilación. Y un último detalle: la longitud de la cuerda que recoge la maquinaria al pasar por la vertical debe ser siempre inferior a la longitud que la deja estirarse al pasar por los dos puntos más altos de la cuchilla a lo largo de su movimiento de vaivén. Con esto los monjes se aseguran de que la longitud neta del péndulo siempre aumente en cada ciclo. Los físicos englobamos bajo el término genérico de oscilaciones forzadas a procedimientos como el descrito.

Figura 4

Así, cuando la fuerza que debe aplicar el mecanismo para tirar de la cuerda hacia arriba es mayor que aquella con la que la impulsa hacia abajo al pasar el péndulo por las posiciones correspondientes, lo que se consigue, una vez simulado nuevamente en el ordenador, es que la amplitud angular de las oscilaciones disminuya de forma más acusada que para el primer caso que os contaba, el del alargamiento con velocidad constante del péndulo (Figura 3: mirad, una vez más, la gráfica de arriba abajo y veréis que las oscilaciones del péndulo se van acortando, es decir, se amortiguan con el tiempo y a medida que la longitud de la cuerda se incrementa en cada ciclo). En el caso contrario, es decir, si el dispositivo regulador de la longitud de la cuerda aplica menor fuerza para reducirla que para incrementarla, entonces se observa que la amplitud de las oscilaciones de la cuchilla puede llegar a aumentar de forma realmente dramática (Figura 4: ídem que la figura 3 en lo que respecta a la forma de mirar el gráfico, pero se percibe muy claramente ahora que las oscilaciones comienzan siendo pequeñas para, rápidamente, amplificarse de forma extraordinaria, especialmente en el caso de la derecha); incluso podría darse el caso en que la mortal cuchilla describiese una circunferencia completa (siempre que la cuerda se mantuviese completamente rígida, obviamente). Y esto sí que encajaría con las impresiones y sucesos narrados por el prisionero, aunque siempre teniendo en cuenta la escasa, en ocasiones, información relevante desde un punto de vista científico que nos aporta el autor. Al fin y al cabo, solamente estamos hablando de literatura de ficción, ¿no es así? Sea como fuere, el caso es que...

“Vi que después de diez o doce oscilaciones el acero se pondría en contacto con mi ropa.”

Con esta entrada participo en la XLVIII Edición del Carnaval de la Física, alojado esta vez en el blog de Daniel Martín Reina (@monzonete) La Aventura de la Ciencia.

Fuente original:

Matthew McMillan, David Blasing, and Heather M. Whitney Radial forcing and Edgar Allan Poe's lengthening pendulum, American Journal of Physics, Vol. 81 (9), September 2013

Por qué no se debe jugar con una calabaza de Halloween mientras practicas paracaidismo

El 2 de noviembre de 1987, en el diario The Times/Beaver Newspapers de Pennsylvania (Estados Unidos), aparecía una curiosa noticia. Más o menos venía a decir que durante la celebración del día de Halloween, una calabaza había atravesado el tejado de una casa junto con los techos de sus dos plantas en la comunidad de Hinckley, estado de Illinois, para acabar estrellándose contra el suelo de la cocina. Tras interrogar a varios testigos, las pistas condujeron a la policía estatal hasta un centro de paracaidismo cercano donde arrestaron a dos practicantes de este deporte por conducta temeraria. Según los mismos acusados reconocieron, se habían dedicado a pasarse de uno a otro la calabaza mientras se precipitaban en caída libre desde un avión. En el preciso momento en que desplegaron sus paracaídas, la calabaza se escapó de sus manos, yendo a parar a la susodicha vivienda. Afortunadamente, no hubo que lamentar víctimas.

En los párrafos que siguen intentaré explicaros de forma sencilla y comprensible por qué los imprudentes paracaidistas no estaban presentes en clase de física el día que tocaba el tema de las leyes de Newton y la velocidad terminal. Quizá la calabaza con la que decidieron jugar fuese el recuerdo material del preciado trofeo cosechado por ambos en el examen de física correspondiente, quién sabe…

Bien, veamos. Cuando yo les explico a mis propios estudiantes las maravillosas e inigualables leyes de Newton, uno de los ejemplos que más me gusta utilizar para ilustrarlas es el que tiene que ver con el concepto de velocidad terminal o velocidad límite. ¿Y en qué consiste éste? Pues muy sencillo, os cuento.

La primera ley de Newton afirma que si sobre una partícula no actúa ninguna fuerza neta, dicha partícula deberá permanecer en reposo o, equivalentemente, seguirá un movimiento en línea recta y con velocidad constante. Lo anterior no significa que no actúen fuerzas sobre la partícula, sino más bien que la suma de todas ellas debe ser nula, es decir, que se cancelan entre sí unas con otras. Pues bien, cuando un cuerpo como una calabaza, por ejemplo, cae por los aires verticalmente actúan sobre ella dos fuerzas básicamente (despreciaremos el empuje de Arquímedes, por ser mucho menor que las otras dos). Estas dos fuerzas son el peso de la calabaza y la fricción con el aire. La primera tira del cuerpo hacia abajo, mientras que la segunda lo hace en sentido contrario, oponiéndose al movimiento.

Pero lo interesante es que la susodicha fuerza de fricción depende de varios factores: el primero es la densidad del aire o cualquier otro fluido en el que tenga lugar el movimiento. Obviamente, cuanto más denso sea el medio en el que se desplaza el cuerpo en cuestión, tanto mayor será el rozamiento ejercido por aquél. No es lo mismo dejar caer una piedra en el aire que en el agua. El segundo factor determinante es el área transversal de la superficie del cuerpo que está en contacto con el fluido (si el cuerpo que cae es esférico, dicha área es la de el círculo que tiene el mismo diámetro que la esfera; si el cuerpo es un cubo y cae “derechito, sin inclinar” el área será la de una de las caras del cubo, es decir, la de un cuadrado). El tercer parámetro es el denominado coeficiente de arrastre, que depende de la forma geométrica del cuerpo. Finalmente, el más importante de los cuatro es la velocidad (más bien, su cuadrado) relativa entre el cuerpo y el fluido.

¿Qué pasa cuando dejamos caer un objeto verticalmente desde una altura considerable? Como su peso es, aproximadamente, constante (a no ser que nos encontremos en lugares muy alejados de la superficie terrestre) lo que sucederá es que inicialmente caerá con una velocidad relativamente pequeña pero, tal y como afirma la segunda ley de Newton, esa velocidad irá en aumento debido a la aceleración de la gravedad. Pero hete aquí que a medida que dicha velocidad se incrementa, lo mismo le sucede a la fuerza de fricción (recordad que ésta depende del cuadrado de la velocidad del objeto). Como ambas fuerzas son opuestas (una hacia abajo y la otra hacia arriba), la segunda irá aumentando de magnitud hasta que alcance un valor exactamente igual al del peso. En ese preciso momento, cuando ambas fuerzas se cancelan, el objeto adquiere la velocidad máxima (denominada velocidad límite o terminal) que mantiene invariablemente durante el resto de su trayectoria rectilínea (primera ley de Newton).

El caso es que si vamos tan sólo un poquito más lejos e invertimos unos instantes de nuestro valiosísimo tiempo en calcular la aceleración a la que se ve sometido el objeto que dejamos caer en presencia de su peso y la fuerza de fricción con el fluido en cuyo seno se desplaza (y para ello únicamente debemos aplicar nuevamente la segunda ley de Newton, cosa que a un estudiante de Secundaria no debería costarle más de 30 segundos), se llega a una expresión extremadamente simple que escribiré aquí, abusando salvajemente de vuestra confianza:

a = g [(v/v_t)² – 1]

donde g representa la aceleración de la gravedad en nuestro planeta (g = 9,8 m/s²), la v es la velocidad de caída del objeto y v_t su velocidad terminal.

Pero lo realmente interesante viene ahora. ¿Qué sucedería si un cuerpo se desplazase inicialmente a una gran velocidad, superior a su velocidad terminal? Al fin y al cabo esto no es tan difícil; de hecho, sucede cada vez que una bala sale del cañón de un revólver, o cuando un paracaidista en caída libre tira repentinamente de la anilla y el paracaídas se despliega en el aire. Un ejemplo igualmente espectacular tiene lugar cuando un meteoro procedente del espacio penetra en la atmósfera de nuestro planeta, encontrándose súbitamente con un medio que ejerce una enorme fricción sobre él.

En este último caso (después volveré con nuestros traviesos paracaidistas juguetones) una velocidad típica para uno de estos meteoros puede ser del orden de varias decenas de kilómetros por segundo. Cuando entran en la atmósfera, sufren una desaceleración brusca a causa de la fricción y pueden llegar a frenar hasta alcanzar una velocidad tan baja como 100 m/s o incluso menor. El resultado es que si aplicamos la ecuación que aparece más arriba y evaluamos la desaceleración se puede obtener un valor de varias decenas de miles de veces el de la gravedad terrestre (por ejemplo, para una velocidad de 30 km/s la aceleración sería de 90.000 g). Si un objeto material experimenta una aceleración, desaceleración (equivalentemente, una fuerza) de semejante magnitud lo más habitual es que se desintegre, se haga pedazos o se volatilice directamente, dependiendo de su tamaño inicial. Además, si la citada aceleración se supone constante (algo que, en rigor, no es así, pero puede darnos una idea bastante aproximada de lo que sucede realmente) el tiempo transcurrido hasta que el meteoro alcanza la velocidad terminal no supera unas cuantas centésimas de segundo y la distancia que recorre (y que es la que marca la longitud de la estela luminosa que deja en el cielo) ronda unos pocos kilómetros. Solamente los meteoros de gran tamaño logran impactar con la superficie terrestre, constituyendo los denominados meteoritos.

Para concluir volvamos nuevamente adonde habíamos dejado a nuestros amigos los paracaidistas calabaceros. ¿Por qué se les escapó la calabaza que se estaban pasando alegremente de uno a otro mientras caían libremente con sus paracaídas plegados? Evidentemente, como los tres cuerpos caían a la vez, con la misma aceleración (aunque no sea el mismo caso, acordaos de Galileo y sus supuestos experimentos desde lo alto de la torre de Pisa o el célebre experimento de la pluma y el martillo que llevó a cabo en 1971 David Scott, uno de los astronautas del Apolo 15, sobre la superficie de la Luna) en realidad es como si estuvieran jugando a pasarse una pelota en la calle (los tres objetos estaban en reposo entre sí, salvo cuando se arrojaban la calabaza de un lado a otro). Pero en el momento en que se cansaron del juego (o lo que es lo mismo, cuando vieron que el suelo se aproximaba peligrosamente a ellos) y decidieron tirar de las anillas y desplegar los paracaídas, lo que sucedió es que entró en acción la aceleración de la formulita de más arriba que utilizamos hace un momento para el meteoro. Y, claro, si uno sustituye en la ecuación valores típicos como pueden ser unos 45 m/s (162 km/h) para la velocidad de caída antes de tirar de la anilla y, aproximadamente, 8 m/s (29 km/h) para la velocidad terminal una vez abiertos los paracaídas, lo que se obtiene para la aceleración experimentada por ambos insensatos es unas 33 veces la aceleración de la gravedad. Quiere esto decir que si la calabaza no llevaba paracaídas que se sepa, es como si ésta hubiese acelerado hacia abajo con respecto a los paracaidistas con la misma aceleración que éstos experimentaron hacia arriba (desaceleración, en este caso) al desplegar sus artefactos. Dicho de otra forma, para los paracaidistas la calabaza se comportó como si pesara 33 veces más que en tierra, colocadita en el jardín de casa o en la mesita del recibidor, que es donde debía estar en Halloween. Sin duda alguna, cuando juegas a lanzarle a tu amigo una calabaza de 70 kilogramos de peso, lo más lógico y también lo más coherente con las leyes de Newton de la física es que la “cosa” se te vaya de las manos…

Con esta entrada participo en la XLVIII Edición del Carnaval de la Física, alojado esta vez en el blog de Daniel Martín Reina (@monzonete) La Aventura de la Ciencia.

Fuente original:

E. Zebrowski Superterminal velocities, The Physics Teacher, Vol. 27, November 1989

Cómo derribar a una persona... ¡a gritos!

Sean Cassidy era el heredero de una fortuna y un castillo en Cassidy Keep, Irlanda. Durante su juventud ejerció como inspector de la Interpol. Al morir su mujer durante un ataque terrorista del IRA, Sean culpa a su primo Tom y le ataca haciendo uso de sus superpoderes mutantes: un poderoso grito sónico producido por sus cuerdas vocales, garganta y pulmones sobrehumanos.

Desesperado, Cassidy abandona la Interpol y decide ejercer como detective privado. Es entonces cuando entra en contacto con la organización criminal Factor-Tres y adopta el nombre de Banshee, cuyo origen se encuentra en la mitología irlandesa desde el siglo VIII. Las banshees son espíritus femeninos que se aparecen a las personas para anunciarles con sus gemidos la muerte de un pariente cercano.

Durante una de las misiones para Factor-Tres entra en contacto con los X-men, a los que se une, definitivamente.

Bien, tras esta brevísima introducción al personaje protagonista del post de hoy, y para abrir boca (nunca mejor dicho) ¿qué os parece si analizamos un poco más detenidamente el superpoder sónico de nuestro amigo Banshee? Si sois seguidores de la serie de películas que últimamente ha resucitado la compañía Marvel y que ha dedicado a una de sus sagas más exitosas, los X-men, habréis visto a buen seguro a Banshee entre la lista de prisioneros del malvado Stryker en X-men Origins: Wolverine (2009), así como ejerciendo sus asombrosas habilidades en X-men: First Class (2011).

Bien, empecemos con algo sencillo, pues tampoco es cuestión de atacar el problema desde un punto de vista absolutamente riguroso. Se trata de utilizar conceptos físicos sencillos, de los que casi todos hemos estudiado en el colegio o el instituto: leyes de Newton y poco más. ¿No os habéis preguntado montones de veces para qué demonios servían aquellas porquerías tan aburridas que os contaban desgañitados vuestros profesores? Pues ahora vais a verlo.

Para ello, tendremos que hacer algunas suposiciones básicas y simplificadoras, aunque bastante razonables. Al fin y al cabo, así trabaja la física y casi todas las ciencias: se elige un problema y se afronta desde un modelo ideal, al que luego se le van añadiendo complicaciones y mejoras, pero cuyos resultados preliminares muchas veces aportan una información muy valiosa.

Vamos allá, entonces. Consideremos que Banshee pretende derribar a una persona con ayuda de uno de sus poderosos gritos sónicos. Supongamos que dicha persona se puede modelar como una caja maciza en forma de prisma, es decir, como si fuera un cubo con las tres aristas de diferente longitud: 25 cm de ancho, 20 cm de profundo y 1,70 metros de alto. Si se admite que la densidad de la caja (equivalentemente, de la persona) es igual a la del agua, entonces la masa de la persona asciende hasta los 85 kg (es decir, un peso de 833 newtons).

Si lo que pretendemos es que Banshee derribe a la persona haciéndola caer hacia atrás, en lugar de arrastrarla por el suelo, deberá ejercer sobre ella una fuerza inferior siempre a la fricción estática que hay entre el calzado y el suelo. Si tenéis unos conocimientos elementales de física, sabéis que esta fuerza de rozamiento se puede calcular multiplicando el coeficiente de rozamiento estático (0,9 en este caso) por el peso de la caja (833 N), lo que da unos 750 newtons. Cualquier fuerza superior a este valor que ejerzan las ondas acústicas de Banshee lograrán que la persona-objetivo sea arrastrada por el asfalto en lugar de ser derribada, haciéndola caer hacia atrás, que es lo que se pretende.

Sigamos admitiendo hipótesis simplificadoras. Lo siguiente que debemos creernos es que la fuerza que ejerce la poderosa voz de Banshee actúa sobre el centro de la superficie de la caja que se encuentra frente a él, esto es, la de un rectángulo de 25 cm por 1,70 metros. Dicha fuerza, que denotaremos con la letra F, será la que en combinación con el peso de la caja, producirá lo que los físicos llamamos un torque o momento. Este torque hace que la caja tienda a girar y caer hacia atrás, rotando alrededor de la arista posterior de la base. Si no os queda claro lo que acabo de decir, probad a hacer lo siguiente: coged cualquier cosa que tenga la forma de una caja y situadla sobre una mesa frente a vosotros; a continuación empujadla con uno de vuestros dedos, aplicándolo más o menos en el centro de la cara que está frente a vosotros. Si esta fuerza que aplicáis es suficientemente pequeña, veréis que la caja tiende a girar alrededor de un eje que coincide con la arista de la base de la caja que se encuentra en el lado opuesto al que estáis empujando, pero sin caerse hacia atrás. Si quitáis el dedo, la caja vuelve a su posición inicial. Ha sido el torque producido por el peso de la caja el que ha hecho esto posible. Si aplicáis una fuerza mayor con el dedo, llegará un momento en que dicha fuerza generará un torque superior al del peso y la caja se caerá, girando alrededor del eje que os dije antes. ¡Comprobadlo!

Bien, ahora lo que tenéis que imaginar es que el dedo se comporta de la misma manera que el grito sónico de Banshee. Si éste grita con la suficiente potencia como para vencer al torque del peso, la caja-persona caerá hacia atrás. La fuerza mínima que tienen que proporcionar las ondas sónicas será aquella que haga que ambos torques (el del peso y el de la fuerza de su grito) sean exactamente iguales. Todo valor superior de esta fuerza mínima también conseguirá el objetivo de derribar a la persona, siempre que no se superen los 750 newtons que la harían deslizarse, como ya os comenté anteriormente.

El cálculo de los valores de ambos torques es extremadamente sencillo (repasad vuestro viejo libro de física). Tan sólo hay que multiplicar la fuerza peso (que está aplicada en el centro geométrico de la caja) por la distancia al eje de rotación (acordaos, la arista de la base justamente opuesta a la dirección de la que procede el grito de Banshee); y lo mismo con la fuerza generada por la onda acústica. Si se hace esto se obtiene que la fuerza mínima que debe ser capaz de generar nuestro amigo mutante con su voz asciende a F = 98 newtons.

Ahora bien, una cosa es saber la fuerza que debe producir Banshee y otra muy distinta es determinar si semejante hazaña puede resultar posible. Lo cierto es que echando un vistazo al cuerpo serrano de Sean Cassidy, no parece gran cosa, aparentemente, un cuerpo humano de lo más habitual. Así que podemos admitir que su capacidad pulmonar es prácticamente igual a la de otro ser humano cualquiera, no agraciado con sus poderes mutantes. Y aquí es cuando comienzan a aparecer las dificultades.

En efecto, una persona normal, en promedio, puede exhalar con un grito un volumen aproximado de medio litro de aire, lo que equivale a unos 0,58 miligramos. Esta exigua masa de aire es la que tiene que ser capaz de empujar a la persona para lograr derribarla. Y, claro, tratándose de una onda acústica, lo más normal es que ésta salga despedida de la garganta de Banshee a la velocidad del sonido, unos 350 m/s (1260 km/h). Este valor depende de la temperatura, como podéis ver aquí.

Admitamos, una vez más, que el aire expulsado por Banshee golpea a la persona de 85 kg y rebota completamente sobre ella, exactamente a la misma velocidad. Con esta suposición nos estamos poniendo en el caso más favorable a nuestro superhéroe, es decir, le estamos dando la oportunidad de generar el grito sónico capaz de producir la mayor fuerza posible. Pero démosle aún más, admitamos que el grito sónico dura tan sólo una décima de segundo (a mayor tiempo, menor fuerza; al menos eso dice la segunda ley de Newton). Pues bien, mezclando y agitando convenientemente todos estos supuestos en las ecuaciones correspondientes, se obtiene que la fuerza producida por la onda acústica generada por las cuerdas vocales, la garganta y pulmones de Banshee asciende a unos 4,06 newtons. Este valor se encuentra enormemente alejado del de la fuerza mínima que se requería para tumbar la caja, ¿lo recordáis? Aquellos célebres 98 newtons de tres párrafos más arriba. Nada menos que un factor 24.

¿Qué significa todo lo anterior? Pues muy sencillo, y esto se puede interpretar de dos maneras diferentes, desde dos puntos de vista como mínimo (os dejo para vosotros alguno otro en que pensar, que los hay). El primero es que si Banshee pretende llegar a alcanzar su propósito debe ser capaz de exhalar una cantidad de aire 24 veces superior a la de un humano normal, siempre que su grito salga despedido a la velocidad del sonido. Obviamente, la segunda opción es que, manteniendo constante la cantidad de aire de sus pulmones e igual a la de un humano no mutante, logre expulsarla a una velocidad 24 veces la del sonido, lo que usualmente se conoce como Mach 24, más de 30.000 km/h. Esto no lo hacía ni Pepe Pótamo. ¿Os acordáis de él?

Con esta entrada participo en la XLVIII Edición del Carnaval de la Física, alojado esta vez en el blog de Daniel Martín Reina (@monzonete) La Aventura de la Ciencia.

Fuente original:

O. East, E. Longstaff, M. Fletcher, C. Li Fus Ro Dah, Journal of Physics Special Topics, Vol. 12, No. 1 (2013)