El dilema de Tarzán (3ª parte)

Una vez resuelto el dilema al que se enfrentaba Tarzán al principio de esta trilogía, resulta muy conveniente que los estudiantes se habitúen a extraer conclusiones a partir del análisis de los casos límites y las posibles excepciones a las que puede dar lugar su trabajo teórico previamente realizado.

1.- La primera cuestión que pueden plantearse es qué sucede cuando Tarzán se acerca a la liana a gran velocidad. Para responder correctamente conviene dibujar la gráfica que aparece al final del post anterior, es decir, la que representa la distancia recorrida por el hombre mono en función del ángulo. A medida que vayan dando distintos valores, cada vez mayores, a la velocidad v, el ángulo para el que aparece el máximo en la curva se irá aproximando sucesivamente a 45°. Es decir, cuanto más velozmente se aproxime Tarzán a la liana, tanto más parecida será su distancia máxima alcanzada a la que se obtiene en el caso de un lanzamiento a nivel del suelo (punto de lanzamiento y de impacto situados en la misma horizontal).

Mucho más interesante y curioso resulta el caso en que la velocidad de carrera de Tarzán es pequeña. Entonces aparecen discontinuidades en el gráfico "distancia versus ángulo". ¿Por qué? Pues porque  se necesita una velocidad mínima para que Tarzán alcance suficiente altura y cualquier otra velocidad más pequeña haría que el argumento de la raíz cuadrada fuese negativo y, en consecuencia, el resultado sería un número imaginario sin sentido físico. Por lo tanto,

Así, en el caso particular representado gráficamente, es decir, cuando L = 3 m, la velocidad mínima de Tarzán para que pueda saltar con cualquier ángulo comprendido entre 0° y 90° es v = 7,67 m/s (por eso el caso dibujado, v = 10 m/s, no presenta ningún ángulo prohibido).

2.- La influencia de la longitud de la liana, L, también presenta un interés indudable. En efecto, tomando el límite cuando L tiende a cero en la expresión de R1 obtenida en el post anterior se llega a la misma que para el caso de un lanzamiento desde un acantilado de altura H, como también hicimos al principio del post anterior. La conclusión es que el tamaño de la liana resulta del todo irrelevante.

Por otro lado, si la liana es larga vuelven a aparecer raíces cuadradas de números negativos, lo que significa que una vez más existen ángulos críticos por encima de los cuales la velocidad de Tarzán no es lo suficientemente elevada como para alcanzar las alturas a las que corresponden dichos ángulos.

3.- Finalmente, podemos considerar el caso en que varía la altura h a la que la liana se encuentra sobre el suelo. O lo que es lo mismo, la estatura de Tarzán. Volviendo a la gráfica "distancia versus ángulo" y dibujándola para valores distintos de h se encuentra que a medida que ésta aumenta el ángulo para el que se logra la mayor distancia alcanzada disminuye hasta hacerse cero. Dicho en lenguaje más accesible: cuanto más alto sea Tarzán antes deberá soltar la liana.

Como conclusión podemos interaccionar con los estudiantes y preguntarles acerca de las dificultades que han tenido durante el desarrollo de la actividad propuesta. Obviamente, un trabajo teórico como el que hemos presentado a lo largo de estas tres entradas, presenta indudables ventajas frente al caso, por ejemplo, en que la actividad fuese diseñada como un experimento práctico, ya que en tal caso las longitudes de las lianas, las estaturas de los estudiantes y el lugar de la experiencia podrían estar severamente restringidos. En cambio, con ayuda de un ordenador, la simulación permite acceder fácilmente a multitud de valores numéricos de todos los parámetros físicos relevantes. También hace posible poner en práctica una táctica muy útil en el trabajo científico: prueba y error. Probando un amplio grupo de valores numéricos distintos los estudiantes forzosamente terminarán por encontrarse con los casos problemáticos analizados más arriba. Y al presentarse estas dificultades deberán plantearse sus causas, lo cual fomenta y estimula el pensamiento creativo. El profesor debe limitarse a orientar y dirigir el trabajo del estudiante cuando éste se desvíe por caminos improductivos. O no...

Fuente original:

Matthew Rave and Marcus Sayers, Tarzan's Dilemma: A Challenging Problem for Introductory Physics Students. The Physics Teacher, Vol. 51, 456 (2013)