La física de las balas de mosquete

¿Se han preguntado ustedes, en alguna ocasión, cómo se las arreglaban nuestros belicosos antepasados para fabricar la munición empleada en sus rudimentarios mosquetes durante los siglos XVIII y XIX? ¿No? Pues yo se lo contaré a continuación. Además, si alguno/a de ustedes es profesor de física en un centro de enseñanza secundaria o incluso en uno de los primeros cursos de universidad, el problema entraña conceptos tanto de mecánica newtoniana como de termodinámica básicas. Puede resultarles útil y motivador en sus clases.

Como les decía, las buenas gentes de finales del siglo XVIII y buena parte del siglo XIX utilizaban como munición en sus mosquetes y pistolas unas bolitas de plomo de diferentes tamaños, dependiendo del calibre concreto de sus armas. Para fabricar estas esferas hacían uso de las denominadas “shot towers” (gracias a Francis y a César me entero de que se denominan "torres de perdigones", en español), edificios en forma de torre que podían presentar alturas comprendidas entre los 40 metros y los 80 metros, cuya patente había sido registrada por un tal William Watts en 1782.

Watts se dio cuenta de que si se dejaba caer un fino chorro de plomo fundido desde una cierta altura (desde lo alto de una torre, por ejemplo) el fluido acabaría formando gotas esféricas que se enfriarían a lo largo de su trayectoria de caída. Los perdigones terminaban cayendo y siendo recogidos en un enorme recipiente con agua que servía como refrigerante. Obviamente, el tamaño de los proyectiles dependía de la altura de la torre desde la que se dejaba caer el plomo fundido a través de miles de agujeros practicados en el fondo de una inmensa cacerola situada en la parte alta de la torre. Por poner un ejemplo numérico, si se vertían 5 toneladas de plomo fundido y éste se filtraba por 2400 agujeros, se conseguía obtener casi 10.000 perdigones cada segundo.

Los fenómenos físicos involucrados en la formación de las bolitas de plomo solidificado no son otros que la denominada inestabilidad de Plateau-Rayleigh (análoga a la que tiene lugar y que, sin duda, habrán visto, sucede cuando un estrecho y fino chorro de agua surge de un grifo y forma gotitas antes de precipitarse en el sumidero); además, está la tensión superficial, que hace que las gotas adquieran forma de esferas (no perfectas, a causa de la gravedad), las leyes de Newton de la dinámica que describen el movimiento de los perdigones durante su vuelo desde la cima de la torre hasta el recipiente con agua situado en el suelo y, finalmente, la termodinámica que explica el enfriamiento del plomo.

La cantidad de calor que debe perder el plomo fundido para solidificarse tiene que ser igual al calor latente de fusión del mismo, esto es, unos 24,7 kJ por cada kilogramo. Al mismo tiempo, nuestros avispados antepasados diseñaron las torres de tal manera que se evitaba la excesiva formación de vapor cuando entraban en contacto los perdigones con el baño de agua refrigerante, para lo cual el plomo debía perder una cantidad de calor tal que, después de solidificarse, su temperatura se redujese desde los 327 ºC (el punto de fusión del plomo) hasta un valor por debajo del punto de ebullición del agua, 100 ºC. Esto resultaba trivial, siempre que se conociese el calor específico del plomo, unos 128 J kg^-1K^-1.

Los tres procesos mediante los cuales una sustancia concreta intercambia calor con el medio que la rodea son la convección, la conducción y la radiación. Una serie de cálculos estimativos con los que no les aburriré (pero que pueden ustedes encontrar detallados en la referencia citada al final) demuestran que, en el caso concreto que nos ocupa, el primero de los tres procesos es unas 10 veces más importante que el segundo y, al menos, unas 20 veces superior al tercero. Por lo tanto, no se comete un error demasiado importante si se ignoran los dos últimos y se admite que la convección es el mecanismo dominante de intercambio de energía térmica entre los perdigones de plomo y el medio circundante (en este caso, el aire).

Esta energía en forma de calor que cede el plomo durante su trayectoria de caída resulta ser una función de varios parámetros, a saber: del área superficial de los perdigones (el área de una esfera), de la diferencia de temperatura entre el plomo y el aire, de la conductividad térmica así como la viscosidad cinemática del aire y de la velocidad de los propios proyectiles. La relación matemática exacta se puede ver también en la referencia que figura al final del artículo.

Ahora bien, si nuestros estudiantes no dominan aún el cálculo diferencial y/o integral, se pueden admitir, sin pérdida de demasiada precisión, dos cosas: en primer lugar, que la velocidad de caída de los perdigones de plomo es constante a lo largo de toda la trayectoria e igual a la mitad del valor de la velocidad terminal (esto es, la velocidad máxima que alcanza un objeto que se desplaza en el seno de un fluido, ya sea éste líquido o gaseoso) y en segundo lugar, que la temperatura de éstos también es constante e igual al valor medio de su temperatura inicial (327 ºC) y final (101 ºC, un grado por encima de la temperatura de ebullición del agua). La velocidad terminal de las esferas de plomo resulta ser de 23-25 m/s, para los valores conocidos de la densidad del aire y la del plomo, así como para unos radios de las esferas comprendidos entre 1,2 y 1,4 mm.

El caso es que cuando todas las magnitudes anteriores se introducen en la expresión matemática correspondiente y se manipula algebraicamente, se llega a una relación muy sencilla entre el radio máximo de las esferas y la altura, H, de la torre:

R = 1,2 10^-4 H^5/8

Así, una torre de 40 metros de altura sería, en principio, perfectamente capaz de dar lugar a los célebres perdigones de calibre 6 (con un radio de 1,2 mm) que históricamente fueron utilizados. Si se desea obtener bolas de 1,9 mm (calibre 2) se requiere una torre con el doble de altura, unos 80 metros.

Para concluir, resulta interesante señalar cómo se puede proceder a la hora de mejorar las prestaciones de las “shot towers”. En efecto, cuanto más permanezcan en el aire las esferas, tanto mayor será el tiempo del que disponen para enfriarse y, en consecuencia, mayor tamaño pueden alcanzar. Esto se consigue mediante el empleo de ventiladores que expulsen aire verticalmente hacia arriba, incrementando la fuerza de arrastre sobre los perdigones y haciendo que éstos se precipiten más tarde en el tanque de agua. Al mismo tiempo, se reduce la temperatura del aire en el interior de la torre, lo que favorece el enfriamiento por convección del plomo.

Referencia original:

Trevor C. Lipscombe and Carl E. Mungan The Physics of Shot Towers, The Physics Teacher 50 (2012) 218-220.