¿Cuántos hombres y tiempo se emplearon en la construcción de la Gran Pirámide?

La Gran Pirámide de Keops fue construida para que sirviera como tumba del faraón egipcio Khufu, de la cuarta dinastía. Su imponente aspecto a simple vista tiene mucho que ver con sus descomunales dimensiones físicas, a saber, 139 metros de altura (originalmente fueron 146,7 metros) y una base cuadrada de 230,4 metros de lado. Si descontamos los espacios interiores: una galería, los pasadizos de ascenso y descenso, así como las dos cámaras mortuorias de que consta, se puede considerar, de forma bastante aproximada, que la gigantesca estructura constituye un bloque macizo de piedra formada, básicamente, por caliza y granito.

El historiador griego Herodoto, quien vivió durante el siglo V antes de Cristo, estimó que la construcción de la Gran Pirámide requirió el esfuerzo de unos 100.000 hombres durante 20 años (a los que habría que añadir otros 10 años más invertidos en la preparación del terreno del asentamiento definitivo). Veamos si esta estimación de Herodoto tiene sentido, desde el punto de vista de la física que conocemos.

Una forma sencilla de calcular la energía necesaria para llevar a cabo una construcción consiste en aplicar conocimientos básicos de física de bachillerato. Si hacemos un poco de memoria o nos da por repasar lo allí aprendido, sin más que dirigirnos a la lección del trabajo y la energía potencial podremos comprobar rápidamente que una partícula (un objeto ideal sin tamaño) de masa M que elevamos desde el suelo hasta una altura H poseerá una energía potencial gravitatoria de magnitud M g H (donde g = 9,8 m/s² es el valor de la aceleración de la gravedad en la superficie terrestre). Cuando el objeto considerado ya no es una partícula, sino un cuerpo extenso, con tamaño y forma, la expresión de la energía potencial anterior puede modificarse ligeramente sustituyendo la H por la altura del centro de masas del cuerpo respecto al suelo (el centro de masas es el punto donde puede considerarse concentrada toda la masa del objeto). Así, para nuestro caso de un cuerpo en forma de pirámide, la energía potencial gravitatoria se puede calcular mediante el producto M g H/4, siendo M la masa total de la Gran Pirámide y H su altura total (146,7 metros). Pues bien, y esto es lo interesante, la física nos dice que este valor de la energía potencial ha de coincidir con el trabajo mecánico llevado a cabo en la construcción del gigantesco edificio.

 

Si habéis prestado atención, no habréis tenido dificultad ninguna para daros cuenta de que el cálculo anterior no se puede llevar a cabo sin conocer el valor de la masa de la pirámide. ¿Cómo obtenerlo? Muy fácil, tanto que casi me da vergüenza explicarlo y que penséis que os estoy tratando como incompetentes. Bien, si recordáis que un poco más arriba os dije que podíamos considerar la Gran Pirámide como un imponente bloque macizo de caliza y granito, entonces ya casi está todo dicho, pues la masa es el producto de la densidad media (unos 2600 kg/m³ para la caliza y entre 2700-2800 kg/m³ para el granito) por el volumen (el volumen de una pirámide es el producto del área de su base por su altura y dividido por 3). Así, se llega a que el valor de la energía potencial o trabajo mecánico realizado para construir la Gran Pirámide de Keops asciende a los 2,5 billones de joules o, equivalentemente, unos 600 millones de kilocalorías. ¿Cuántos hombres y durante cuánto tiempo trabajando se necesitarían para satisfacer este enorme requerimiento energético? ¿Pudieron emplear esta energía los trabajadores egipcios? ¿Cuántas kilocalorías (kcal) de alimento ingerían diariamente? ¿Qué rendimiento energético posee un cuerpo humano? Vayamos por partes.

En nuestra época, un hombre necesita un promedio de unas 2.500 kcal diarias, a las que hay que añadir otras 500 kcal más si desarrolla un trabajo físico continuado. En cambio, es poco probable que hace más de 4.000 años la ingesta calórica de los egipcios, teniendo en cuenta factores tales como la disponibilidad de alimentos y el clima cálido, superase las 1.500 kcal. Más aún, un ser humano actual es capaz de invertir un 20 % de la energía que consume en trabajo físico, esto es, unas 500-600 kcal. Por el contrario, un egipcio que viviese hace 40 siglos difícilmente rendiría más allá de un 10 %, más o menos, unas 150 kilocalorías. Así pues, para alcanzar un trabajo total de 600 millones de kilocalorías se necesitarían los esfuerzos conjuntos de 4 millones de hombres por día de trabajo o, equivalentemente, 540 hombres trabajando sin parar durante 20 años y 360 días cada año. Esto es un factor 185 menor que la cifra estimada por Herodoto.

¿Estaba chalado Herodoto? ¿No tenía ni idea de matemáticas y utilizó en todo momento la "cuenta de la vieja"? Pues lo cierto es que no lo sabemos y tampoco es tan importante porque todo lo anterior no tiene otro fin que veáis que la física que alguna vez estudiasteis o deberíais haber estudiado sirve para cosas tan absolutamente inútiles como esta. No obstante, os diré que otros autores contemporáneos, asimismo, han llevado a cabo estimaciones similares y han obtenido valores también alejados de los proporcionados por Herodoto. Por ejemplo, Illig y Löhner sugieren 6.700 trabajadores y 10 años de trabajo; Lehner propone 20.000 hombres y 20 años; Mendelssohn va más allá e incluye en su cálculo la estacionalidad y el trabajo total, no solo el llevado a cabo para montar los bloques de piedra, y así llega a una cifra de entre 50.000 y 150.000 hombres afanados durante 100 años.

¿Cómo puede afinarse un poco más nuestro cálculo inicial para que las cifras del insigne historiador griego y los otros autores no difieran tanto de la nuestra? Al fin y al cabo, nuestra estimación es equivalente a haber cogido un solo bloque cuyo peso es idéntico al de la Gran Pirámide y haberlo elevado verticalmente hasta una altura de 36,7 metros (la cuarta parte de la altura total de la pirámide, los citados 146,7 metros). ¿Qué simplificación, quizá demasiado restrictiva, incluye dicho cálculo? Pues nada menos que haber ignorado la fricción, el rozamiento, las pérdidas energéticas. ¿Podemos incluirlas, de alguna manera? Pues sí. ¡¡Atentos!!

Como no me quiero apartar ni desviar de la física de bachillerato, voy a ir un poquito más allá del primer cálculo, el relacionado únicamente con la energía potencial gravitatoria adquirida por nuestro bloque de piedra. Pensemos en uno de los modelos más utilizados en los cursos de física elemental: sí, me estoy refiriendo al puto plano inclinado. Imaginemos que subimos por dicho plano un bloque de masa idéntica a la de la Gran Pirámide y que lo hacemos arrastrándolo hasta una altura de 36,7 metros sobre el suelo (esto se hace para que las condiciones sean equivalentes a las de nuestro primer cálculo). De esta manera, las pérdidas energéticas vendrán impuestas por la fuerza de fricción entre el bloque de piedra y la superficie del plano inclinado. Si se resuelven las ecuaciones de Newton correspondientes al plano (no me detendré aquí a explicar esto, pero para los que seáis profesores puede constituir un ejercicio estupendo para vuestros estudiantes) se llega a que los requerimientos en hombres y años de trabajo dependen, como es obvio, de dos factores: el coeficiente de rozamiento entre el bloque de piedra y el plano (se puede coger para este un valor aproximado de 0,75 correspondiente al deslizamiento entre dos superficies, ambas de caliza) y el ángulo de inclinación del plano o rampa. Así, cuando este es de unos 10° la cifra estimada es de 5.700 hombres trabajando a lo largo de 10 años; para una pendiente de 5° se llega a 11.000 hombres en 10 años o, lo que es lo mismo, 5.500 hombres en 20 años. Como se puede apreciar, la mejora es de casi un orden de magnitud.

Por supuesto, todo lo anterior es, evidentemente, mejorable y el cálculo se puede refinar cuanto se quiera. Pero el objetivo de este post parece claro y no es otro que mostrar que incluso los conocimientos más básicos y elementales de física adquiridos durante nuestra época escolar nos pueden proporcionar las herramientas necesarias para acometer el estudio de todo tipo de disciplinas con las que probablemente no hubiéramos soñado en un principio.

Fuente original:

A C Tort, Work, gravitational energy and the Great Pyramid Physics Education, Vol. 50, 516 (2015)