¿Cuántos átomos hay en un cuerpo humano?

Tengo la sanísima costumbre de emplear una de mis primeras clases de cada curso universitario en tratar de enseñar a mis estudiantes a hacer cálculos que, aparentemente, pueden resultar imposibles de llevar a cabo. Esta aparente dificultad para llevarlos a buen fin viene dada por la falta de datos, de información relevante.

El físico de origen italiano Enrico Fermi (1901-1954), quien fue una de las cabezas más visibles en el desarrollo del célebre proyecto Manhattan, que concluiría con la construcción de la primera bomba atómica, poseía una asombrosa facilidad para resolver cierto tipo de problemas, como los que os describo en el primer párrafo. Partiendo de unos datos exiguos, era capaz de obtener unas buenas estimaciones, aproximaciones asombrosamente precisas a las soluciones de los problemas planteados. En su honor, a estos problemas o cuestiones se les llama problemas de Fermi. Y para resolverlos, Fermi trataba siempre de descomponer el problema original en otros más simples, lo desmenuzaba hasta que a cada uno de estos micro-problemas le podía asignar una respuesta sencilla.

Para explicaros en qué consisten estos problemas, os pondré un ejemplo de los que suelo proponer a mis estudiantes. Se trata de determinar o estimar el número aproximado de átomos que se encuentran en el cuerpo de un ser humano. No me negaréis que tiene enjundia, ¿verdad? ¿Entendéis ahora por qué digo lo que digo en los párrafos anteriores? ¿Cómo diablos se puede dar una solución aproximada a semejante cuestión? Pues, justamente eso, es lo que me dispongo a contar ahora mismo.


Bien, comencemos por el principio: ¿cuántos átomos hay en un cuerpo humano? Veamos, el cuerpo está formado por una serie más o menos diversa de elementos químicos constituyentes, pero no sabemos exactamente cuántos hay de cada tipo. Sin embargo, sí conocemos que un gran porcentaje de nuestro cuerpo es agua. Digamos, pues, como primera aproximación, que todo nuestro cuerpo está constituido por agua. Aun siendo este porcentaje del 60-70%, esto no quiere decir que cometamos un 30% de error, ya que justamente ese otro 30% está formado por otros átomos, aunque no sean de agua. Bien, un conocimiento básico de química nos dice que cada molécula de agua posee tres átomos: dos de hidrógeno y uno de oxígeno. El siguiente paso modesto es saber cuánto pesa una molécula de agua o, lo que es lo mismo, cada átomo que la constituye. Esto también lo aprendimos en el colegio. En un mol de agua hay el número de Avogadro (unos 600.000 trillones) de moléculas y cada mol pesa 18 gramos. Únicamente nos resta asumir un peso medio para un cuerpo humano. Pongamos 70 kg. Resulta trivial deducir que en un cuerpo humano hay, pues, unos 3900 moles de agua y, por tanto, 1028 átomos, esto es, un 1 seguido de 28 ceros o, lo que es lo mismo, 10.000 cuatrillones. Problema resuelto.

Para que podáis apreciar la potencia del método de Fermi, vamos a llevar a cabo el mismo cálculo, pero esta vez teniendo en cuenta los distintos tipos de elementos químicos de los que está constituido un ser humano. Este dato concreto podemos sacarlo de la Wikipedia. Como allí dice, las abundancias relativas son las siguientes:

·       Hidrógeno 10,0 %
·       Oxígeno 65,0 %
·       Carbono 19,37 %
·       Nitrógeno 3,2 %
·       Calcio 1,38 %
·       Fósforo 0,64 %
·       Cloro 0,18 %
·       Potasio 0,22 %

Con estas proporciones de cada uno de estos nueve elementos y volviendo a suponer que el cuerpo humano promedio pesa unos 70 kg, se encuentra fácilmente que de ellos 7 kg serán de hidrógeno; 45,5 kg de oxígeno; 13,56 kg de carbono; 2,24 kg de nitrógeno; 0,97 kg de calcio; 0,45 kg de fósforo; 0,13 kg de cloro y 0,15 kg de potasio.
Si ahora acudimos a los valores de los pesos atómicos de cada uno de los anteriores ocho elementos de la tabla periódica y utilizamos el número de Avogadro, podremos calcular el número de átomos de cada especie. Así, se obtiene:

·       Hidrógeno 4,18 1027 átomos
·       Oxígeno 1,71 1027 átomos
·       Carbono 6,8 1026 átomos
·       Nitrógeno 9,63 1025 átomos
·       Calcio 1,46 1025 átomos
·       Fósforo 8,75 1024 átomos
·       Cloro 2,21 1024 átomos
·       Potasio 2,31 1024 átomos


Finalmente, tan sólo queda sumar las cifras anteriores. ¿El resultado? 6,7 1027 átomos. ¿No os parece asombroso?


Fu Manchú, no me toques los moles, que se me hinchan y...

Fu Manchú ha esquivado a la justicia, una vez más. Tras ser aparentemente decapitado, ha regresado de la muerte y lo ha hecho con sed de venganza, pues su vileza y mezquindad no conocen límites. Decidido a ejecutar su amenaza de terminar, en primer lugar, con toda la población de Londres y conquistar después el mundo entero, secuestra al profesor Muller, quien en compañía de su fiel colaborador, Jannsen, ha logrado sintetizar un líquido mortal a partir de una flor muy especial: la amapola de la Colina Negra, endémica de las inaccesibles montañas del norte del Tíbet. Conocida como "la semilla de la vida", existe una leyenda entre los monjes tibetanos sobre sus increíbles poderes. Al parecer, a partir de un líquido destilado de sus semillas se obtiene "el secreto de la vida universal", la vida verdadera, la vida después de ésta. En otras palabras, el terrorífico elixir de "la muerte universal".

Fu Manchú es un personaje creado por el escritor británico Sax Rohmer en 1913. Arquetipo de malvado infinito ansioso por dominar el mundo, se enfrenta y ve continuamente desbaratados sus locos planes por el eficaz inspector de Scotland Yard, Nayland Smith, quien junto a su inseparable amigo, el doctor Petrie, forman una pareja que recuerda enormemente a otra dupla de personajes universales: Sherlock Holmes y el fiel doctor Watson.

El personaje del vil chino mandarín ha sido llevado al cine en innumerables ocasiones, siendo las más célebres aquellas en las que fue encarnado nada menos que por el mítico Boris Karloff en la década de los años 30 del siglo pasado y por Christopher Lee en los años 1960, ya en color.

Las breves líneas del primer párrafo corresponden al primero de los films protagonizados por Lee, El regreso de Fu Manchú (The Face of Fu Manchu, 1965). En él, Nayland Smith intenta descubrir al asesino loco, tan loco que los guionistas, saltándose la supuesta inteligencia privilegiada atribuida al personaje, le obligan a obtener del profesor Muller la ansiada fórmula acudiendo al eficaz método del secuestro de su hija mientras, en otras ocasiones, con otros personajes, hace uso de su enorme poder de hipnosis. ¿No os recuerda a la socorrida Fuerza de los caballeros Jedis, que se utiliza para ahogar, estrangular, sacar naves espaciales del fango y, sin embargo, no tiene utilidad a la hora de abortar un simple combate de espadas de luz?

Con la intención de averiguar los planes de Fu Manchú, el inspector Smith acude al asistente del profesor Muller, el doctor Jannsen. A pesar de sus reticencias a desvelar el campo de investigación de su colega, éste finalmente accede y le revela el espeluznante secreto que guarda la destilación del mortal suero. Os transcribo el diálogo entre ellos, extraído de la misma película:

- Una sola molécula de esto bastaría para coagular la albúmina de cualquier ser vivo. En cuestión de segundos conseguiría entrar en las venas y unas pocas gotas bastarían para asegurar la muerte de diez mil personas.

Mientras habla, Jannsen sintetiza "in situ" una minúscula cantidad de sustancia. Asustado por lo que acaba de escuchar, Nayland Smith le pregunta si no resulta extremadamente peligroso exponerse a los ponzoñosos efluvios del potingue mortal, a lo que el primero replica:

- Por encima del punto de congelación pierde sus propiedades y es inofensivo.

Smith pregunta:

- ¿Y por debajo del punto de congelación?

Jannsen responde, preocupado:

- Por debajo del punto de congelación... con medio litro bastaría para matar a todas las personas y animales de Londres.


Bien, creo que con esto es suficiente para disponer de la disculpa necesaria para divagar un ratito sobre algunas cosas dignas de interés. Empezaré por el principio y como no tengo ni la más remota idea, me voy a la Wikipedia a cotillear un poco por el concepto de albúmina. Allí dice, entre otras cosas, que la albúmina es una proteína sintetizada por el hígado que podemos encontrar en una gran proporción en el plasma sanguíneo. Posee una gran importancia para el organismo, así que si se coagula seguro que nos hace mucha pupa. No encuentro ninguna información sobre la temperatura a la que se coagula la albúmina de la sangre (la coagulación es el proceso por el que un líquido pierde su naturaleza y se vuelve una especie de gel o pasta, más o menos viscosa) pero, en cambio, sí que aparece algún dato para la ovoalbúmina, que es la que se encuentra en la clara del huevo y que cuando éste se pone en la sartén es la responsable de ese colorcito blanco que adquiere aproximadamente cuando se alcanzan los 70 °C. Por tanto, parece un tanto discutible que la poción de la muerte universal pueda causar la coagulación de la albúmina de la sangre. Más bien me inclinaría por pensar que los guionistas han confundido la temperatura a la que se muestra eficaz la fórmula con la temperatura de coagulación de la propia proteína, incluso aunque hablen del punto de congelación. En fin, tampoco me interesa demasiado este asunto, así que lo dejo en vuestras manos. Cada uno que decida y llegue a sus propias conclusiones.

Voy con otro aspecto relacionado con el diálogo recogido más arriba y que me resulta bastante más interesante. Se trata del concepto de mol, el mismo que constituye una pesadilla en los sueños de adolescentes que cursan asignaturas como la química o los temas relacionados con la termodinámica en materias como la física. Bien, veamos. Resulta que el mol, por definición, es la cantidad de sustancia en la que podemos encontrar un número fijo y determinado de entidades, como pueden ser átomos o moléculas. Este número fijo es el conocido número de Avogadro y su valor es grande, muy grande, de hecho es ligeramente superior a los 600 mil trillones. Así, en un mol de agua (que pesa casi 18 gramos) habrá casi 600 mil trillones de moléculas de agua pero, al mismo tiempo, también habrá dos moles de átomos de hidrógeno (1,2 cuatrillones) y uno de oxígeno (otros 600 mil trillones); en un mol de ozono (que pesa unos 48 gramos) habrá, a su vez, 1,8 cuatrillones de átomos de oxígeno pero solamente 600 mil trillones de moléculas de ozono (formadas por tres átomos de oxígeno).


Volvamos por un momento al diabólico plan de Fu Manchú. Puesto al corriente de la debilidad térmica del veneno por el profesor Muller, decide esperar el momento propicio. Esparcirá una dosis letal sobre un pueblo inglés convenientemente elegido un frío día de invierno. Como en la película no se facilita ningún dato más concreto sobre la misteriosa pócima, partiré de una suposición relativamente razonable: la densidad del líquido es similar a la del agua. Como un litro de agua pesa, más o menos, un kilogramo y un solo mol de agua pesa unos 18 gramos, resulta elemental deducir que en medio litro de agua habrá casi 28 moles. Traducido a moléculas, esto es casi 17 cuatrillones. Si, tal y como afirma Jannsen, una sola molécula sirve para aniquilar a una persona, ¿cuántos habitantes (animales incluidos) hay en Londres?

Vale, vale. No os ha gustado la exageración. Lo entiendo, lo entiendo. Después de todo, nadie ha dicho que el destilado de la amapola de la Colina Negra esté constituido por agua. Veámoslo entonces desde vuestro propio punto de vista: el desquiciado. Mantendré mi suposición original de que la sustancia de la muerte universal presenta la misma densidad que el agua. Y supondré, asimismo, que Londres tenía unos 6,5 millones de habitantes a principios del siglo pasado, que es cuando parece desarrollarse la acción de la película. Admitiendo que en la capital inglesa no hay demasiado ganado y que casi la totalidad de animales son de compañía y que prácticamente la mitad de las personas posee uno, redondeo la cifra total de personas más animales a diez millones. Esto significa que son necesarias diez millones de moléculas de la fórmula misteriosa. Si nuevamente lo traducís a moles obtendréis un número bastante parecido a 0,000000000000000017. Así pues, difundir medio litro de este potingue por la atmósfera de la capital londinense equivale a suponer implícitamente que la masa molecular de la enigmática pócima ha de ascender necesariamente a 30 billones de toneladas (en comparación con los 18 gramos del agua). Muy gordas me parecen a mí estas moléculas. Tiene moles la cosa...


¿Qué pasaría si, de repente, los océanos se volviesen sólidos?


Según David Pringle, en su libro Ciencia Ficción: Las 100 mejores novelas, Cuna de gato (Cat's Cradle, 1963) es una de ellas. En cambio, no aparece recogida entre tan insignes obras en Las 100 mejores novelas de ciencia ficción del siglo XX (editada por Juan Carlos Poujade para La Factoría de ideas en 2001). Si sirve de algo mi modesta opinión, la novela de Kurt Vonnegut tampoco figurará en el baúl de los recuerdos que me lleve a la tumba.

Jonah es el protagonista de Cuna de gato. Es un escritor en busca de documentación para escribir un libro que llevará por título "El día del fin del mundo". En él pretende narrar las cosas que estaban haciendo algunos norteamericanos en el momento de ser lanzada la bomba atómica sobre Hiroshima, el 6 de agosto de 1945. Para empezar, dirige sus investigaciones hacia el doctor Felix Hoenikker, ya fallecido, y considerado como padre de la bomba, así como inventor de una sustancia cristalina artificial denominada hielo-nueve, destinada a ayudar al ejército norteamericano a salir de las zonas pantanosas.

El hielo-nueve posee unas propiedades peculiares: está compuesto de moléculas de agua dispuestas de una manera totalmente distinta a como lo hacen en el hielo "normal", posee un color blanco azulado y su temperatura de fusión es de 45,7 ºC. Como consecuencia y dado que la temperatura ambiente suele estar normalmente por debajo de dicho punto de fusión, cuando un pequeño fragmento de este cristal entra en contacto con agua líquida, ésta se solidifica instantáneamente, lo cual provoca, al ingerirlo, la muerte de varias personas en la novela de Vonnegut.

En un momento dado de la novela, un trozo de hielo-nueve cae accidentalmente en el océano. Las terribles consecuencias no se hacen esperar: tras escucharse un sonido aterrador, toda el agua del mar se transformó en hielo-nueve, el cielo se oscureció y apareció plagado de enormes tornados.
Bien, no me negaréis que la idea especulativa de la novela no es maravillosa, sugerente como la que más, y que invita a la discusión científica durante unos cuantos párrafos. ¿Os parece que entremos en materia?

Lo primero que llama la atención es la extraña naturaleza de la sustancia misteriosa. Tal y como afirma el autor, los enlaces entre las moléculas de agua en el hielo-nueve son distintos a lo habitual. Dado que el hielo que conocemos en la Tierra se puede encontrar, según las condiciones físicas, en más de una docena de fases cristalinas, no queda demasiado claro a qué se refiere Vonnegut.

Una segunda cuestión que nos podemos plantear es la siguiente: ¿se ha solidificado toda el agua del océano o únicamente una capa superficial de determinado grosor? Obviamente, si el hielo-nueve se parece a la mayoría de sustancias sólidas que conocemos en este planeta, debe tener una densidad superior a sus correspondientes fases líquidas (aunque, justamente, el hielo "normal" sea una afortunada excepción; la mayoría de las otras fases cristalinas del hielo son más densas que el agua) y, por tanto, debería hundirse dejando agua líquida en la superficie en caso de no haberse "congelado" toda. Esto último entraría en contradicción con lo que observa el protagonista de la novela, quien afirma: "Abrí los ojos y todo el mar era hielo-nueve". Claro que dicha afirmación tampoco resulta demasiado relevante ya que, se hundiese o no la sustancia mágica, seguiría estando en contacto con el agua líquida y, si hacemos caso al autor, entonces, debería transformarse inmediatamente en hielo-nueve. En todo caso, el tema de la densidad podría tener importancia en el hipotético caso de que ésta fuese menor que la del agua ya que, en tal situación, el volumen ocupado por el océano debería incrementarse (a igualdad de masa, una disminución en la densidad debe ir acompañada de un aumento en el volumen), lo que podría dar lugar a la generación de enormes ondas de choque e innumerables terremotos. Nada de esto es observado ni descrito por Jonah.

Pero cambiemos un poco el rumbo de la discusión y preguntémonos acerca de la viabilidad de los hipotéticos efectos que tienen lugar al combinarse el agua líquida y el hielo-nueve. Resulta evidente que dicha "reacción", tal y como se narra en la novela, debe ser espontánea, es decir, se produce sin la intervención de terceros. Se ponen en contacto ambas sustancias y ¡zas! Magia potagia...


Si entramos de una forma un tanto más rigurosa en la cuestión anterior, debemos acudir al concepto de espontaneidad, tal y como se entiende en química. Una manera de determinar si una cierta reacción química es espontánea consiste en evaluar el signo de la variación de la función (esto es la diferencia entre su valor después de la reacción y su valor antes de la reacción) denominada energía libre de Gibbs. Si éste signo es negativo la reacción tendrá lugar espontáneamente; si es positivo no. Podemos, entonces, concluir que, dado que la reacción entre el agua líquida y el hielo-nueve es espontánea, entonces por fuerza el signo de la variación de la energía de Gibbs debe ser negativo. Ahora bien, me vais a permitir (y que no sirva de precedente) que escriba la siguiente ecuación:

variación de G = variación de H - T * variación de S

donde G es la energía de Gibbs aludida anteriormente; H es la denominada entalpía; T es la temperatura absoluta (el asterisco significa multiplicación) y S es la entropía. Fijemos nuestra atención en esta última cantidad.

Si habéis leído el capítulo 19 de mi libro Einstein versus Predator en el que se aborda el tema de la inmortalidad en relación con la entropía, habréis percibido sin ningún lugar a dudas la relación entre el orden de un sistema termodinámico y el valor de su entropía. De ahí se puede extraer la valiosa conclusión de que valores crecientes de la función entropía describen estados más desordenados de un sistema termodinámico. Un ejemplo claro es la transición de sólido a líquido de una sustancia. Sin embargo, fijaos en que la reacción que nos ocupa, es decir, la del paso de agua líquida a hielo-nueve (sólido) es justamente lo contrario y debe ir acompañada de una disminución de entropía por constituir el estado sólido una disposición "más ordenada" que el estado líquido. La conclusión es que la variación de la función entropía que aparece en la ecuación de más arriba debe tener signo negativo. ¿A qué nos lleva todo esto?


Si observáis de nuevo con un poquito de atención la ecuación, os daréis cuenta que la única forma posible de que tanto la variación de G como la variación de S sean ambas negativas es que también lo sea la variación de H. ¿Y bien? Pues muy sencillo, dado que el signo de la variación de H nos indica si la reacción es endotérmica o exotérmica, esto es, si la reacción se produce con absorción o liberación de energía calorífica, respectivamente. El signo positivo corresponde a la primera y el negativo a la segunda. La conversión en hielo-nueve de toda el agua del océano debe ser exotérmica. ¿Cuánto vale y dónde va a parar todo el calor liberado en la reacción? Pues lo cierto es que solamente puede ir a un sitio: la atmósfera.

Reflexionemos un instante sobre este punto. ¿Recordáis lo que os comentaba hace unos cuantos párrafos sobre la naturaleza de los enlaces entre las moléculas de agua en el hielo-nueve? Parece sencillo deducir que estos enlaces deben ser más fuertes que en el hielo "normal". ¿Por qué? Pues porque el hielo-nueve es, en efecto, una sustancia cristalina sólida a temperaturas por debajo de 45,8 ºC, muy por encima de los 0 ºC del punto de fusión del hielo "normal". Dicho en otras palabras: resulta mucho más fácil (requiere menor energía) romper los enlaces del hielo "normal" que los del hielo-nueve para fundirlos. Así, se puede afirmar razonablemente que la entalpía de fusión para este último debe ser superior a la del primero.

Los razonamientos previos permiten establecer un límite inferior en la cantidad de calor necesaria para la transformación del agua líquida en hielo-nueve. Teniendo en cuenta que la entalpía de fusión (también conocida como calor latente de fusión) para el agua es de unos 6 kilojoules/mol, deducimos que la conversión de un mol de agua líquida en hielo-nueve no puede liberar una energía calorífica inferior a estos 6 kilojoules. Si además asumimos que los líquidos suelen presentar calores específicos superiores a las de sus correspondientes fases sólidas (4,18 kJ/kg K para el agua líquida y 2,11 kJ/kg K para el hielo, por ejemplo), entonces la conclusión es clara: el calor específico del hielo-nueve no debe sobrepasar los 4,18 kJ/kg K del agua líquida.

Ahora ya estamos en condiciones de calcular el incremento de temperatura mínimo que experimentaría la atmósfera si la totalidad de la energía calorífica liberada en la conversión de toda el agua del mar en hielo-nueve. Tan sólo hay que acudir a la expresión que relaciona la cantidad de calor absorbido por un sistema termodinámico (en este caso, la atmósfera) con su masa, su calor específico y la variación de la temperatura. Aquí podéis refrescar la memoria. Procedamos.


En primer lugar es necesario conocer la cantidad de calor que desprenderá toda el agua del mar (acordaos que la reacción era exotérmica) al transformarse en hielo-nueve. Suponiendo que los océanos albergan unos 146 trillones de litros y que la densidad promedio del agua marina ronda los 1,03 kg/litro debe haber unos 8350 trillones de moles de agua. Multiplicando este valor por los 6 kJ/mol de la entalpía de fusión se llega a la solución buscada: 50 cuatrillones de joules.

En segundo lugar, necesitamos el calor específico de la atmósfera. Podemos aproximarlo con bastante precisión tomando el del nitrógeno gaseoso, que resulta ser de 29 J/mol K. Por otro lado, supondremos que todo el calor desprendido por el agua al solidificarse únicamente se transmite a la troposfera, es decir, la capa atmosférica más cercana a la superficie terrestre. Tomando como promedio un espesor para ésta de unos 15 km y una densidad media del aire de 1,2 kg/m3 se estima su volumen (no tenéis más que restar al volumen de la Tierra sin atmósfera el volumen de otra esfera cuyo radio es la suma del radio terrestre más los 15 km de espesor de la troposfera) en unos 7700 trillones de litros, equivalente a 9,2 trillones de kilogramos o, lo que es lo mismo, 320 trillones de moles.

Finalmente, se introducen todos los números anteriores en la expresión del incremento de la temperatura: se divide el calor liberado por el agua entre el producto de la masa de aire de la troposfera y su calor específico. El resultado es demoledor: 5388 ºC, una temperatura comparable a la de la superficie solar.

Sin duda, deberían formarse tornados... ardientes tornados.


Fuente original:
Using Science Fiction To Teach Thermodynamics: Vonnegur, Ice-nine, and Global Warming Charles A. Liberko. Journal of Chemical Education, Vol. 81, No.4, 2004.


Entrevista a Sergio L. Palacios

Hace unos cuantos meses me enteré del nacimiento de un proyecto muy interesante. Se trataba de la web "Portal Ciencia y Ficción". Y esto no era todo, pues además publicaban una revista homónima, gratuita y online. Nada más y nada menos.

En dicha revista, impecablemente editada, se pueden encontrar artículos de todo tipo relacionados con el cine, la literatura; entrevistas, relatos y muchas cosas más.

Actualmente, la revista va por su segundo número y tengo que decir que, tras echarle un vistazo estos días de vacaciones veraniegas, me ha parecido estupenda.

Por todo ello, quiero presentárosla aquí y contribuir con mi granito de arena a su conocimiento y difusión porque creo que cosas como ésta merecen mucho la pena y, sin embargo, son enormemente desconocidas, sobre todo en nuestro país.

Finalmente, me gustaría recomendaros especialmente la entrevista que podéis encontrar entre las páginas 80-87 y que está realizada por Nieves Delgado a uno de los mejores divulgadores del panorama nacional actual, si no el mejor. Se trata de Sergio L. Palacios, quien fue célebre hace algún tiempo por mantener un blog llamado Física en la Ciencia Ficción. Leedla porque las cosas que dice este hombre (especialmente, entre líneas) siempre merecen mucho la pena. Genios como él escasean en estos tiempos de crisis...