¿Cuánto tardarían los planetas en "caer" en línea recta hacia el Sol?

La probabilidad de que sucediese una hecatombe cósmica que tuviera como consecuencia la detención del movimiento de traslación alrededor del Sol de nuestro planeta, la Tierra, es increíblemente pequeña y podemos afirmar, sin temor a equivocarnos (aunque siempre con la humildad y precaución que caracterizan a toda afirmación científica que se precie) que resulta prácticamente imposible. Además de la dificultad que supondría colisionar con un objeto del tamaño apropiado, el impacto o la interacción gravitatoria correspondiente debería, asimismo, tener lugar de tal forma que la Tierra no se redujese a escombros directamente; debería conservar un tamaño lo suficientemente grande como para poder mantener la denominación de planeta.

Bien, acudiré una vez más a vuestra legendaria capacidad mental para suspender la incredulidad y supondré que ha tenido lugar, por las causas que fueren, la detención total de nuestro planeta en su órbita alrededor del Sol, algo parecido a lo que se refleja en la película El día en que la Tierra se incendió (The Day the Earth Caught Fire, 1961). ¿Qué sucedería a partir de este mismo momento?

Hasta hace unas décadas, resolver una cuestión como la anterior conllevaba no pocos quebraderos de cabeza a los físicos o los matemáticos que pretendían hallar una respuesta, ya que la resolución de la ecuación diferencial a la que se llegaba tras aplicar las ecuaciones del movimiento que surgían de las leyes de la mecánica newtoniana no era precisamente evidente. Hoy en día, con el desarrollo de los programas de cálculo simbólico y los métodos numéricos, junto con los potentes ordenadores personales, el problema resulta mucho más sencillo.

Pues bien, un planeta como la Tierra, que se ha detenido y ha dejado de dar vueltas alrededor de su estrella madre, abandonaría su trayectoria elíptica y comenzaría a precipitarse en un movimiento de caída en línea recta hacia el Sol, con una aceleración creciente (y, por tanto, con una velocidad cada vez mayor también), ya que al disminuir la distancia entre ambos cuerpos la fuerza de atracción gravitatoria mutua aumentaría según la ley de la gravitación universal de Newton. En realidad, y para ser rigurosos, la Tierra se acercaría al Sol y éste, a su vez, se aproximaría a la primera (en terminología física, los dos cuerpos se irían acercando paulatinamente hacia el centro de masas del sistema formado por ambos). Debido a la enorme diferencia de masas entre nuestro planeta y el Sol, el centro de masas del sistema se encuentra en el interior de la estrella y no supone un error apreciable suponer que es la Tierra la que se dirige hacia el Sol, despreciando el movimiento de este último.

Lo más curioso y llamativo del ejercicio académico propuesto más arriba es que la solución matemática que se alcanza es extremadamente simple y general. En efecto, cuando se expresa el tiempo que duraría la “caída” se obtiene que éste es el producto de un factor aproximadamente igual a 0,177 por el período de traslación del planeta alrededor del Sol (el resultado es equivalente para un planeta extrasolar cualquiera y la estrella alrededor de la que rotase). Así, nuestro planeta emplearía 0,177 x 365 = 64,5 días en precipitarse sobre el Sol. Durante la primera mitad del viaje consumiría 52 días, tardando únicamente 12 en la segunda mitad de su infortunado periplo.

El resto de planetas de nuestro sistema solar emplearían, respectivamente:

·                Mercurio: 15,5 días
·                Venus: 39,7 días
·                Marte: 121,4 días
·                Júpiter: 2,1 años
·                Saturno: 5,2 años
·                Urano: 14,9 años
·                Neptuno: 29,1 años
·                Plutón (sí, lo sé, ya no es un planeta): 43,9 años


¿Os atrevéis a resolver la ecuación vosotros mismos?



Fuente:

Falling and Orbiting Maurice Bruce Stewart. The Physics Teacher, Vol. 36, 1998.



3 comentarios:

  1. La ecuación diferencial que se obtiene es
    x" = - G Ms / (x^2)
    No he sido capaz de resolverla analíticamente.
    He hecho una hoja EXCEL que resuelve el problema iterando y obtengo los mismos resultados que tú indicas para cada planeta:
    Mercurio 15,5 días
    Venus 39,7 días.... etc
    Pero tampoco he sabido deducir la fórmula que tú das
    t = 0,177 * PerTras
    ¿Cómo la obtienes?
    ¿La ecuación diferencial tiene solución analítica?
    Gracias por divulgar ciencia, saludos cordiales y ánimo para continuar.

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  2. ¡Eureka!
    a1 = distancia del planeta al Sol, (semieje mayor de la órbita)
    T1 = periodo de traslación del planeta
    Ambos parámetros están relacionados por la 3ª ecuación de Kepler.
    (1) T1^2 = 2 pi a1^3 / (G Ms)
    Consideremos que el planeta tiene una órbita casi circular, se detiene su traslación y empieza a caer hacia el Sol. Realmente caería en línea recta, pero podemos considerar que cae formando una ELIPSE muy, muy, muy achatada. El semieje mayor de esa elipse ( a2 ) será la mitad de a1.
    Calculemos el período de revolución del planeta en la elipse achatada aplicando de nuevo la 3ª ecuación de Kepler.
    T2^2 = 2 pi a2^3 / (G Ms)
    como a2 = a1 / 2
    (2) T2^2 = 2 pi (a1/2)^3 / (G Ms)
    Dividiendo miembro a miembro las ecuaciones (2)/(1) se obtiene
    T2 = T1 / raíz(8)
    El tiempo de llegada hasta el Sol será LA MITAD del periodo de revolución, por tanto el tiempo buscado es:
    t = T1 / (2 raíz(8))
    t = 0,1768 T1
    Y ya está.
    Muchas gracias, me he divertido mucho con el post.

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    1. Hay un error las 3 veces que sale la fórmula de la 3ª Ley de Kepler:
      Donde dice "2 pi" debería decir "4 pi^2"
      Lo que pasa es que el error no afecta a los cálculos, pues la constante errónea se simplifica al dividir miembro a miembro las ecuaciones (2)/(1)

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