¿Y si la fuerza gravitatoria aumentase con la distancia? La ley de la gravitación de Hooke

Todos los que habéis estudiado alguna vez un poquito de física no tendréis demasiado problema en recordar la llamada ley de la gravitación universal, enunciada por Isaac Newton hace más de 300 años y publicada en 1687 en sus célebres "Principia", quizá la obra científica más influyente de la historia de la humanidad. La leyenda que acompaña a esta ley (por cierto, parece haber constancia escrita de que sucedió realmente) cuenta que a Newton se le ocurrió mientras escuchaba el ruido de una manzana al precipitarse al suelo desde una rama de su árbol madre (nótese la velada referencia a "Avatar"). Se preguntó cuál podía ser la fuerza que podía explicar la caída de la manzana y el movimiento de la Luna alrededor de la Tierra. Y la encontró. Una ley sencilla, bella. Expresada en pocas palabras, venía a afirmar que entre dos cuerpos cualesquiera del universo existía una fuerza atractiva, una acción a distancia que aumentaba proporcionalmente con los valores de las masas de ambos cuerpos pero que, en cambio, disminuía en razón inversa con el cuadrado de la distancia que los separaba.

Esta fuerza tenía la misma naturaleza, ya fuera entre la manzana y la Tierra o entre ésta y la Luna. Todos los cuerpos del universo se movían siguiendo órbitas determinadas por la ley de la gravitación universal. Fue el propio Newton quien dedujo cómo serían las formas geométricas de las órbitas o trayectorias que deberían describir los planetas, asteroides y cometas alrededor del Sol o también una manzana dejada caer cerca de la superficie terrestre, así como si se la lanzase con impulsos diferentes desde lo alto de una montaña. Dichas trayectorias sólo podían ser de tres clases: parábolas e hipérbolas (curvas abiertas) y elipses (curvas cerradas). Esto último, es decir, que las órbitas eran elípticas en el caso de los planetas y el Sol ya había sido descubierto por Johannes Kepler en 1609, cuando enunció las dos primeras leyes del movimiento planetario que llevan su nombre, basándose para su deducción en las precisas observaciones llevadas a cabo por el astrónomo danés Tycho Brahe. En la primera de ellas, Kepler establecía que todos los planetas del sistema solar se desplazaban alrededor del Sol siguiendo caminos con forma elíptica, estando siempre el Sol situado en uno de los dos focos de la susodicha curva. La circunferencia era un caso particular de la elipse, aquél en el que ambos focos coincidían en un mismo punto (justamente, el centro de la circunferencia). Nueve años después, en 1618, Kepler completaría su trabajo con el enunciado de una tercera ley. Ésta establece que el tiempo que emplea cada planeta en dar una vuelta completa alrededor del Sol depende de la distancia mutua entre ellos. Más exactamente: el cuadrado del período de rotación es directamente proporcional al cubo del semieje mayor de la órbita. Así, la duración de los años en otros planetas más alejados del Sol que la Tierra es cada vez mayor a medida que su distancia a nuestra estrella aumenta. En cambio, Mercurio (88 días) y Venus (225 días) tienen años más cortos que los terrestres.

Como ya dije, Johannes Kepler descubrió sus leyes de forma empírica, basada en observaciones astronómicas extraordinariamente precisas en aquella época. Sin embargo, no tenía ni idea de cuál era la razón profunda en la que descansaban sus descubrimientos, es decir, no conocía la forma matemática que debía tener la fuerza de interacción entre el Sol y los planetas. La cuestión quedó zanjada en el año 1684, cuando Edmund Halley decidió acudir a Newton, quien le informó casi de inmediato de que la misteriosa fuerza que Kepler había estado buscando durante su vida verificaba la célebre ley del inverso del cuadrado. Por entonces, ya hacía años que Newton mantenía una serie de agrias discusiones y batallas filosóficas con Robert Hooke. Al parecer, éste último le había propuesto a Newton la idea de la variación de la fuerza con el inverso del cuadrado de la distancia y le había sugerido la resolución del problema matemático. Newton jamás reconoció el valor y las ideas de Hooke.

Aunque no conozco y (aún) no he conseguido encontrar las fuentes originales, parece ser que las primeras ideas de Hooke sobre la forma concreta de la ley de la fuerza gravitatoria suponían que ésta era semejante a la ejercida por un muelle sobre un cuerpo sujeto a él por un extremo. Así, imaginaba a la Tierra unida por un gigantesco muelle al Sol. En 1660, Hooke había encontrado que dicha fuerza elástica era proporcional al estiramiento del muelle. Como en el caso de un planeta y el Sol, el estiramiento del muelle era mayor cuanto mayor resultaba la distancia entre los dos astros, la gravedad aumentaba con la distancia en lugar de disminuir con el cuadrado de ésta, tal y como sabemos hoy en día.

Pero quizá os estéis preguntando cómo es posible que a alguien se le pueda ocurrir semejante idea, una idea aparentemente enloquecida y surgida de la más audaz historia de ciencia ficción, digna de la película más creativa del género en los últimos años (Roland Emmerich aparte, claro). Si habéis estado atentos a las fechas, os habréis percatado que desde 1609, fecha de las dos primeras leyes de Kepler, ya se sabía sobradamente que las órbitas planetarias eran elípticas. ¿Cómo entonces alguien osaba proponer una ley de la gravitación tan distinta de la newtoniana (aún no conocida por entonces)? Pues la razón era muy simple. La fuerza gravitatoria elástica sugerida por Hooke predecía también órbitas elípticas para los planetas. En efecto, como bien habréis aprendido también en los libros de física básica, cuando un cuerpo está sujeto a una fuerza de tipo elástico como la dada por la ley de Hooke, y siempre que el movimiento sea en una sola dimensión, la trayectoria seguida por dicho cuerpo será una línea recta y el movimiento recibe el nombre de armónico simple. En cambio, si la trayectoria que sigue el cuerpo se encuentra contenida en un plano, como es el caso de la Tierra o cualquier otro planeta alrededor del Sol, entonces lo que se tiene es una superposición de dos movimientos armónicos simples, ambos perpendiculares entre sí. Cuando se combinan estos dos movimientos armónicos simples surge una elipse como trayectoria (existen otras combinaciones distintas conocidas como curvas de Lissajous, pero no vienen a cuento ahora). ¿Consideráis ahora a Hooke un insensato? ¿No, verdad? Bien, pues quizá con lo que os voy a contar a continuación vuestra opinión cambie.

La verdad es que la ley de gravitación sugerida originalmente por Hooke (ya os he contado que posteriormente él mismo rectificaría y le sugeriría a Newton una ley inversa con el cuadrado de la distancia) no es coherente con las leyes de Kepler más que en el carácter elíptico de las órbitas. ¿Por qué? Por varias razones. La primera es que cuando se resuelven las ecuaciones de movimiento surge la primera contradicción y ésta no es otra que, a diferencia de lo que afirmaba Kepler, ahora el Sol ya no se encuentra en uno de los focos de la elipse, sino en el centro de la misma. La segunda, y más grave si cabe, tiene que ver con la tercera ley de Kepler. Efectivamente, si alguna vez habéis deducido esta ley suponiendo una aproximación de órbita circular y utilizando la ley de gravitación universal junto con la expresión de la fuerza centrípeta, solamente tenéis que llevar a cabo un cálculo exactamente igual pero sustituyendo la ley de fuerza de Newton por la de Hooke. Comprobaréis inmediatamente que ahora el tiempo que tarda el planeta en describir una vuelta alrededor del Sol es siempre el mismo, independientemente de la distancia que le separe de la estrella. Todos los planetas tendrían años de igual duración.

Y así, de esta manera tan elegante y efectiva trabaja la ciencia en algunas ocasiones. Se observa un fenómeno, se experimenta (si se puede), se elabora un modelo teórico-matemático que explique las observaciones y se predicen nuevos fenómenos potencialmente observables. Si estos fenómenos no se explican con el modelo teórico propuesto, éste se abandona y se busca uno que lo haga. Hooke era un científico de tomo y lomo. Propuso su teoría y vio que ésta se ajustaba a algunas de las observaciones pero, en cambio, contradecía otras ya comprobadas por otros medios (las leyes de Kepler, en este caso). Así pues, encaminó sus esfuerzos hacia otro modelo más acertado y, consecuentemente, más próximo a la verdad. ¿Alguna pseudociencia voluntaria que lo haga mejor?