¿Cuánto tiempo tarda en caer a tierra un satélite artificial?

Diseñar y construir un satélite artificial no es un asunto excesivamente complicado, hay cosas mucho más difíciles como aprobar el examen de física en el que te preguntan cómo diseñar y construir un satélite artificial. De hecho, desde hace algo más de una década muchas universidades han desarrollado pequeños satélites, tanto con propósitos educativos como de investigación. Sin embargo, antes de ser lanzados y puestos en órbita, sus diseñadores han de ser capaces de demostrar que sus ingenios espaciales han de poder permanecer en su sitio un máximo de 25 años antes de caer nuevamente a tierra. Todo artefacto que se mantenga en órbita pero no esté operativo, es decir, haya concluido la misión para la que fue dispuesto, se considera "basura espacial". En la actualidad existen unos 8000 de estos objetos dando vueltas alrededor de nuestro planeta.

Transcurrido un cierto tiempo y debido a la interacción del satélite con la atmósfera terrestre, que ejerce un efecto de fricción considerable, aquel acaba por hacer una re-entrada y, como consecuencia de su elevada velocidad, puede incinerarse total o parcialmente y terminar por caer al suelo, algo que constituye un tema de interés público por razones evidentes.

En este post trataré de contar de la forma más sencilla posible cómo se puede estimar de forma aproximada, y utilizando conocimientos que todos hemos adquirido durante nuestra educación secundaria, el tiempo que transcurre desde que es lanzado a su órbita hasta que se precipita sobre la superficie de la Tierra. Resulta obvio que el tiempo real se puede calcular de formas mucho más precisas y así lo hacen, en efecto, los ingenieros de la NASA o la ESA, pero sus resultados no difieren enormemente de los que un chaval de 16-18 años puede obtener y esto puede constituir un elemento de motivación nada despreciable en los tiempos que corren.

Bien, comenzaré. Lo primero que se puede hacer es simplificar el problema que se pretende resolver, una técnica habitual en ciencia y más en física. Consideraré, pues, que nuestro satélite en cuestión tiene forma cúbica y que describe una órbita circular alrededor de la Tierra. Además, y aquí radica la diferencia principal con los casos sencillos que se consideran habitualmente en las aulas de nuestros hijos, el rozamiento juega un papel esencial en la resolución de nuestro problema, ya que es precisamente la causa de que el satélite acabe su vida orbital.

Por lo tanto, las dos únicas fuerzas que actúan sobre el satélite en órbita son: la fuerza de la gravedad (esto es, su peso, ejercido por la Tierra) y la fuerza de arrastre o rozamiento (ejercida por la atmósfera). La primera es de sobras conocida, y viene dada por la célebre ley de la gravitación universal de Newton. La segunda no resulta tan conocida por los chavales de Secundaria, pero sin más que consultar cualquier manual avanzado (no demasiado) se puede comprobar que también es empleada a menudo en situaciones muy diversas.

donde cd recibe el nombre de coeficiente de arrastre, una cantidad que depende de la forma geométrica del satélite; A es el área de la superficie que se enfrenta al aire (en nuestro caso, una de las caras del cubo, es decir, un cuadrado; los otros dos factres son la densidad del aire y la velocidad del satélite artificial. Una vez conocidas las formas precisas de ambas fuerzas, tan sólo es necesario aplicar la segunda ley de Newton de la mecánica para obtener la posición del satélite en cada instante de tiempo. Desafortunadamente, la ecuación resultante y su resolución quedan fuera del alcance de los conocimientos básicos de los estudiantes de nuestros colegios e institutos. Pero que no cunda el pánico, ya que para algo se estudian métodos alternativos y nuestros profesores, tan maltratados, ignorados y vilipendiados por la sociedad de mierda y tiquismiquis en la que vivimos, vienen al rescate. Todos los que somos profesores sabemos que en no pocas situaciones hemos sido asaltados por nuestros alumnos cuando les explicamos que existe otra forma de resolver los problemas de mecánica sin acudir directamente a la segunda ley de Newton. ¿Cuál es esa otra forma? Pues ni más ni menos que la MARAVILLOSA e INCOMPARABLE ley de conservación de la energía.

En efecto, esta ley viene a decir que si estimamos las energías cinéticas (debidas al movimiento del satélite), y las energías potenciales gravitatorias (debidas a la fuerza de atracción gravitatoria ejercida por la Tierra) en dos posiciones diferentes del satélite (por ejemplo, a dos distancias diferentes de la Tierra, como r_A y r_B en la figura) y las comparamos veremos que no coinciden. Y la diferencia entre ellas es justamente la energía perdida a causa de la fricción con la atmósfera, es decir, la energía que se ha "llevado" la fuerza D de arrastre.

Entonces, únicamente resta utilizar aquello que aprendimos los mayores hace tantos años de que la potencia (la velocidad con la que cambia la energía) es igual al producto de la fuerza por la velocidad para llegar a la expresión:

Para poder escribir la ecuación anterior hemos tenido que hacer dos suposiciones, a saber: primero, que la velocidad del satélite entre las posiciones A y B es aproximadamente constante (obviamente, esto no es cierto, porque de serlo el satélite no caería) e igual al valor medio de las mismas a esas distancias precisamente. Y segundo, que la densidad de la atmósfera solamente depende de la altura y tiene un valor constante entre las posiciones A y B. Resulta obvio decir que sería de enorme ayuda disponer de una tabla (esto constituye un buen ejercicio de investigación para los chavales) en la que se mostrasen los valores de las altitudes, las densidades del aire a dichas altitudes y las velocidades del satélite también a esas altitudes, que vienen dadas por:

Así, para un satélite en forma cúbica, con c_d = 1,05 y de 1 kg de masa, 10 cm de arista e inicialmente situado en una órbita a 600 km de la Tierra, se obtiene que el tiempo empleado en precipitarse al suelo desde la fecha de su lanzamiento asciende a 31,75 años. Como ilustración se puede decir que de estos casi 32 años, 17,66 corresponden al tiempo de caída entre los 600 km y los 550 km; entre los 550 km y los 500 km emplea otos 8,11 años; 3,57 años para caer entre 500 km y 450 km; 1,5 años entre los 450 km y los 400 km de altura; y así, sucesivamente. Por ejemplo, entre los 200 km de altura y los 150 km tan sólo tarda en caer 24 horas y de los 150 km hasta los 100 km únicamente 6 minutos. Por debajo de los 100 km de altura el satélite suele arder y/o fragmentarse.

Finalmente, podemos decir que los cálculos de la NASA para el caso de un satélite como el que acabamos de considerar arrojan un valor del tiempo de caída estimado de solamente 18 años, es decir, poco más de un 56 % de nuestro valor. Esta discrepancia se debe a efectos no tenidos en cuenta, como pueden ser la presión de radiación ejercida por el Sol sobre el satélite o la actividad geomagnética, entre otros. Otra buena oportunidad para que nuestros estudiantes amplíen sus conocimientos e intenten ir más allá de donde nosotros, los profesores, les hemos dejado. ¡Ay del discípulo que no supere a su maestro!

Fuente original:

Antonio Lira, How long does it take for a satellite to fall to Earth? Physics Education, Vol. 50, 71 (2015)