¿Y si la Tierra fuese plana (y hueca)?

El mito de la Tierra plana es uno de los más célebres de la historia de la Humanidad. ¿Quién no recuerda la simpática pero completamente falsa anécdota del famoso "huevo de Colón"? Lo cierto es que la verdad sobre la redondez de la Tierra ya era conocida desde mucho tiempo atrás. Sin embargo, que muchos siglos después sigan existiendo personas que aún no se crean que nuestro planeta tiene forma de esfera ligeramente achatada por los polos debido a la propia rotación terrestre no deja de ser preocupante cuando no irrisorio, descabellado o imbécil, si se me permite el amable calificativo.

Pues así es, en efecto, a día de hoy, en pleno siglo XXI e ignorando pruebas tan evidentes e incontestables como las imágenes vía satélite, entre otras, lo cierto es que todavía quedan unos cuantos cenutrios descerebrados a los que ninguna evidencia parece convencer (si no me creen, prueben a consultar esta web, digna de la más alucinante de las experiencias con sustancias estupefacientes). Más aún, no contentos ni satisfechos con creer a pies juntillas que la Tierra es plana, algunos incluso van más allá y para ellos, además, también es hueca. Como lo oyen. 

Para aquellos que sean fieles a mis andanzas blogueras o a mis libros no hace falta decirles que la cuestión de una Tierra hueca ya la abordé en el capítulo 14 de mi primer libro: La guerra de dos mundos. Asi pues, hoy me centraré exclusivamente en el caso de la Tierra plana y también en el de una Tierra plana y hueca al mismo tiempo. 

Bien, lo primero que hay que decir es que entre los chalados también existen variantes, tantas como versiones distintas de Tierras planas. Entre estas, una que, particularmente, me hace mucha gracia es la que supone que nuestro planeta es un enorme disco en cuyo centro se sitúa el Polo Norte y que se encuentra rodeado a lo largo de toda su circunferencia por un muro de hielo (la Antártida) lo suficientemente elevado como para impedir que el agua de los océanos se desborde. El Polo Sur ni se menciona (guiño, guiño, risas, guiño, risas). 

Hasta aquí las majaderías. A partir de ahora, la ciencia. Veamos, ¿qué tal si nos planteamos el siguiente ejercicio? Supongamos que hemos enloquecido y damos por buenas las descabelladas ideas de los cabezasplanas. Calculemos, por qué no, la aceleración de la gravedad de un planeta Tierra que fuese plano y no esférico. ¿Cómo proceder? 

Fácil, al menos si poseemos unas nociones básicas de matemáticas y física (claro que si esto también lo negamos, entonces apaga y vámonos). Cualquier estudiante de Bachillerato ha oído hablar en sus clases del teorema de Gauss, una herramienta muy útil a la hora de calcular intensidades de campos producidos por distribuciones de carga eléctrica altamente simétricas, como pueden ser un cable de antena o de corriente cilíndrico, una esfera cargada eléctricamente, la placa de un condensador plano, etc. Pues bien, este mismo teorema de Gauss también resulta aplicable para campos gravitatorios como el que queremos (en realidad, el teorema es válido, asimismo, para todos los campos que varíen con el inverso del cuadrado de la distancia). La técnica consiste en elegir un superficie arbitraria y determinar el flujo del campo que la atraviesa, sabiendo la cantidad de carga eléctrica o la masa que encierra dicha superficie. Para los chavales hacer esto no debe resultar excesivamente difícil, si se ayudan del dibujo que se muestra en la figura (su profesor puede servir de guía en caso necesario), en el que la Tierra está representada por un corte transversal, en color gris, del cilindro. Las superficies dibujadas con trazos discontinuos S1 y S2 se utilizan para determinar el campo gravitatorio, g, tanto en el interior como en el exterior del planeta, respectivamente. 

Aunque bien es cierto que la gente que cree firmemente en una Tierra plana no suele manifestar una confianza similar en la existencia de la fuerza de la gravedad, los que nos encontramos al otro lado del río de la necedad irracional, debemos admitir ciertas suposiciones razonables y una de ellas pasa por suponer que, en lugar de un disco, nuestro planeta es más bien un cilindro con un radio mucho mayor que su altura, lo cual no dista demasiado de la idea original, pero que nos va a permitir hacer un cálculo adicional del espesor o grosor de la Tierra (la altura del cilindro). Además, ignoraremos a propósito el valor de la gravedad terrestre en los puntos de la periferia del cilindro, es decir, en la Antártida. ¡Que se jodan los pingüinos! 

Una vez todo dispuesto, se aplica el teorema de Gauss y se obtiene que la intensidad del campo gravitatorio o, lo que es lo mismo, el valor de la aceleración de la gravedad en la superficie de las bases del cilindro es 

g = 2 pi d G H 

donde G es la constante que aparece en la ley de la gravitación universal de Newton, d es la densidad de masa promedio de nuestro planeta y H el espesor del mismo. 

La expresión anterior permite deducir el valor de H, si se admite que los valores de G, d y g son los conocidos, esto es, los medidos experimentalmente. Así, se llega a que H = 4247 km. Esta es la profundidad que debe tener un hoyo si queremos visitar a los habitantes del otro lado de nuestro planeta. Nada en comparación con los 12.750 km de diámetro que tiene la Tierra real. 

Podemos ir un poquito más lejos y determinar el tamaño del disco en el que supuestamente vivimos. Para ello, solamente necesitamos conocer el valor de la masa de la Tierra (5980 trillones de toneladas). Teniendo en cuenta que la masa es igual al producto de la densidad media por el volumen del cilindro, se llega a que el radio de este cilindro debe ser de 285.000 km. Prácticamente, ¡un 40 % del tamaño del Sol! Realmente estamos viviendo en un planeta muy grande y no nos hemos enterado. 

Si llevamos a cabo un análisis completamente análogo para el caso de que la Tierra fuese plana pero también hueca, concluiremos muy fácilmente que en este caso el valor de la gravedad terrestre será justo el doble que para el caso únicamente plano. Las conclusiones obvias son, por un lado, que el espesor de la Tierra es ahora de 2124 km y nuestros vecinos del otro lado del mundo estarán el doble de cerca que antes y, por otro lado, que el radio del cilindro y, por ende, el tamaño de nuestro planeta se verá incrementado hasta los 400.000 km, un 57 % del tamaño de nuestra estrella, el Sol. ¡Tres hurras por las cabezas planas y huecas! Hip, hip...

Fuente original:

A.C. de Azevedo, L.P. Vieira, C.E. Aguiar and A.C.F. Santos, Teaching light reflection and refraction to the blind. Physics Education, Vol. 50, 15 (2015)