El dilema de Tarzán (3ª parte)

Una vez resuelto el dilema al que se enfrentaba Tarzán al principio de esta trilogía, resulta muy conveniente que los estudiantes se habitúen a extraer conclusiones a partir del análisis de los casos límites y las posibles excepciones a las que puede dar lugar su trabajo teórico previamente realizado.

1.- La primera cuestión que pueden plantearse es qué sucede cuando Tarzán se acerca a la liana a gran velocidad. Para responder correctamente conviene dibujar la gráfica que aparece al final del post anterior, es decir, la que representa la distancia recorrida por el hombre mono en función del ángulo. A medida que vayan dando distintos valores, cada vez mayores, a la velocidad v, el ángulo para el que aparece el máximo en la curva se irá aproximando sucesivamente a 45°. Es decir, cuanto más velozmente se aproxime Tarzán a la liana, tanto más parecida será su distancia máxima alcanzada a la que se obtiene en el caso de un lanzamiento a nivel del suelo (punto de lanzamiento y de impacto situados en la misma horizontal).

Mucho más interesante y curioso resulta el caso en que la velocidad de carrera de Tarzán es pequeña. Entonces aparecen discontinuidades en el gráfico "distancia versus ángulo". ¿Por qué? Pues porque  se necesita una velocidad mínima para que Tarzán alcance suficiente altura y cualquier otra velocidad más pequeña haría que el argumento de la raíz cuadrada fuese negativo y, en consecuencia, el resultado sería un número imaginario sin sentido físico. Por lo tanto,

Así, en el caso particular representado gráficamente, es decir, cuando L = 3 m, la velocidad mínima de Tarzán para que pueda saltar con cualquier ángulo comprendido entre 0° y 90° es v = 7,67 m/s (por eso el caso dibujado, v = 10 m/s, no presenta ningún ángulo prohibido).

2.- La influencia de la longitud de la liana, L, también presenta un interés indudable. En efecto, tomando el límite cuando L tiende a cero en la expresión de R1 obtenida en el post anterior se llega a la misma que para el caso de un lanzamiento desde un acantilado de altura H, como también hicimos al principio del post anterior. La conclusión es que el tamaño de la liana resulta del todo irrelevante.

Por otro lado, si la liana es larga vuelven a aparecer raíces cuadradas de números negativos, lo que significa que una vez más existen ángulos críticos por encima de los cuales la velocidad de Tarzán no es lo suficientemente elevada como para alcanzar las alturas a las que corresponden dichos ángulos.

3.- Finalmente, podemos considerar el caso en que varía la altura h a la que la liana se encuentra sobre el suelo. O lo que es lo mismo, la estatura de Tarzán. Volviendo a la gráfica "distancia versus ángulo" y dibujándola para valores distintos de h se encuentra que a medida que ésta aumenta el ángulo para el que se logra la mayor distancia alcanzada disminuye hasta hacerse cero. Dicho en lenguaje más accesible: cuanto más alto sea Tarzán antes deberá soltar la liana.

Como conclusión podemos interaccionar con los estudiantes y preguntarles acerca de las dificultades que han tenido durante el desarrollo de la actividad propuesta. Obviamente, un trabajo teórico como el que hemos presentado a lo largo de estas tres entradas, presenta indudables ventajas frente al caso, por ejemplo, en que la actividad fuese diseñada como un experimento práctico, ya que en tal caso las longitudes de las lianas, las estaturas de los estudiantes y el lugar de la experiencia podrían estar severamente restringidos. En cambio, con ayuda de un ordenador, la simulación permite acceder fácilmente a multitud de valores numéricos de todos los parámetros físicos relevantes. También hace posible poner en práctica una táctica muy útil en el trabajo científico: prueba y error. Probando un amplio grupo de valores numéricos distintos los estudiantes forzosamente terminarán por encontrarse con los casos problemáticos analizados más arriba. Y al presentarse estas dificultades deberán plantearse sus causas, lo cual fomenta y estimula el pensamiento creativo. El profesor debe limitarse a orientar y dirigir el trabajo del estudiante cuando éste se desvíe por caminos improductivos. O no...

Fuente original:

Matthew Rave and Marcus Sayers, Tarzan's Dilemma: A Challenging Problem for Introductory Physics Students. The Physics Teacher, Vol. 51, 456 (2013)

El dilema de Tarzán (2ª parte)

Una vez planteado el problema al que debe enfrentarse el Rey de los Monos, el siguiente paso lógico consiste en calcular la distancia horizontal de un proyectil que ha sido lanzado desde lo alto de un acantilado, por ejemplo, es decir, desde un punto situado a una altura H sobre el suelo (quizá algunos profesores ya hayan realizado este ejercicio elemental en sus clases, con lo que sus estudiantes podrán comprobar su utilidad en el presente desafío).

Si se utilizan las técnicas habituales en el estudio de la cinemática del movimiento parabólico y se plantean sendas ecuaciones correspondientes a ambas coordenadas (horizontal y vertical) tal y como se han visto en el aula, la expresión que se obtiene para dicha distancia máxima horizontal es:

Es fácil comprobar que la expresión anterior se reduce a la muy conocida

si se calcula el límite de aquella cuando H tiende a cero, lo cual puede reforzar la confianza de los estudiantes y animarles a continuar con la pequeña investigación que han emprendido, además de proporcionarles la oportunidad de repasar el concepto de límite de una función, así como la relación del seno del ángulo doble.

De la primera ecuación se pueden sacar conclusiones muy interesantes, tales como:

1.- El ángulo óptimo para lograr que la distancia alcanzada por el proyectil sea máxima puede calcularse de la forma habitual, es decir, hallando la derivada con respecto al ángulo e igualando a cero. Obviamente, esto resulta algo más engorroso que para el caso elemental en que los puntos de lanzamiento y de impacto se encuentran sobre la misma horizontal, en cuyo caso ya habíamos dicho que el ángulo óptimo era de 45°.

2.- Si se procede a representar gráficamente (aquí puede ser de ayuda algún software específico como Mathematica, Maple, Excel, etc.) el resultado teórico y prestando atención se deduce que el ángulo óptimo de lanzamiento es tanto menor cuanto mayor sea la altura del acantilado, H.

3.- Por tanto, si el acantilado es muy alto, el lanzamiento de máxima distancia se acerca mucho a un tiro horizontal, esto es, con theta = 0.

Hasta aquí, todo lo que necesitamos para resolver el dilema de Tarzán que nos habíamos planteado al principio. Veamos, si os habéis dado cuenta, aún no conocemos el valor de la velocidad del hombre-mono justo en el momento en que suelta la liana (esto es, la velocidad inicial v₀ con la que se efectúan los lanzamientos parabólicos). Una excelente oportunidad para recordar el principio de conservación de la energía mecánica:

y como se puede ver en la figura 

entonces se puede escribir lo siguiente:

Ahora, si sustituimos este valor en la primera de las ecuaciones, la de arriba del todo, tendremos la máxima distancia alcanzada por Tarzán, siempre que la midamos desde el punto en el que éste suelta la liana. En cambio, si deseamos saber la distancia total, medida desde el punto en el que Tarzán agarra la misma liana en posición vertical, tan sólo debemos sumar a la cantidad anterior L sin(theta), como fácilmente se deduce de la figura de arriba. Finalmente,

La mejor forma de escudriñar la expresión anterior consiste en hacer una representación gráfica de la misma, situando el ángulo en abscisas y la distancia alcanzada por Tarzán en ordenadas. Así, para unos valores numéricos de lo más razonables como pueden ser una velocidad en carrera para nuestro héroe de 36 km/h, una liana de 3 metros de longitud situada a una altura de 1 metro sobre el suelo, el ángulo óptimo resulta ser de algo más de 39° (ver dibujo bajo estas líneas).

(Continuará...)