Calculando la velocidad a la que podía desplazarse un Tyrannosaurus rex

Siempre recuerdo que cuando era un chaval y en el cine o la televisión ponían una película de dinosaurios, estos perseguían a incautos seres humanos primitivos, les daban alcance y los devoraban tan fácilmente como quien mastica un chicle con total despreocupación. Años más tarde, vinieron las películas de Parque Jurásico y el escandaloso anacronismo de poner a convivir en la misma época a lagartos y humanos pasó por fin a mejor vida (a pesar de que muchas personas aún piensen que vivieron al mismo tiempo, tal como reflejan algunas encuestas) dejando paso a la ingeniería genética. Entonces, y gracias a la inestimable ayuda de los efectos digitales, los dinosaurios cobraron vida de nuevo, tras 65 millones de años de ausencia, los velociraptores corrían y atrapaban personas egoístas y ambiciosas, los tiranosaurios perseguían coches todoterreno y otros nosequé-saurios esprintaban alegremente por las praderas. Y, claro, yo me preguntaba cómo los señores que hacían estas películas sabían de qué color eran los dinosaurios, cómo era posible que conociesen los rugidos, chillidos, bramidos, mugidos que emitían o de qué endiablada y retorcida forma habían llegado a determinar a qué velocidad eran capaces de desplazarse. Al fin y al cabo no había dinosaurios sobre la faz de la Tierra desde hacía 65 millones de años y nunca habíamos visto ni quizá volvamos a ver a ninguno.

Cuarenta años después y ya con canas, hoy sé que existen técnicas y métodos para estimar la forma en que se movían, de qué se alimentaban, o qué sonidos emitían. No todo el mundo conoce esos métodos, pues se requiere normalmente formación en algunas ramas de la física como la biomecánica o la acústica, entre otras.

Una de las cosas que los estudiantes siempre achacan a su falta de motivación o interés en la física es la aplicación práctica de las cosas que les enseñamos en clase. Como profesor preocupado por el tema, siempre intento en lo posible indagar, buscar estas aplicaciones y que resulten interesantes y atractivas para mis alumnos (o para los de los demás, a través de los artículos de este blog). Cuando en mis clases explico los movimientos oscilatorios sencillos (armónico simple y poco más) e introduzco los conceptos de péndulo simple y péndulo físico suelo aplicarlos a los dinosaurios y así responder a una de aquellas preguntas que me planteaba cuando era joven. Permitidme que os cuente.

Un péndulo simple es una cosa muy sencilla. Consiste únicamente en una pequeña masa (suele denominarse lenteja) sujeta al extremo de una cuerda. Si cogemos con una mano el otro extremo de la cuerda, debido al peso de la lenteja, aquella se situará en su posición natural de equilibrio, es decir, vertical. Si a continuación, con la otra mano cogemos la lenteja y la separamos de la vertical un cierto ángulo y soltamos, esta comenzará a describir un movimiento pendular (si habéis visto alguna vez un reloj de péndulo sabréis de qué estoy hablando). Pues bien, ese continuo vaivén de la lenteja de un lado al otro resulta ser un movimiento periódico, es decir, que siempre tarda el mismo lapso de tiempo en volver al mismo punto, en describir una oscilación completa (dicho intervalo de tiempo se denomina período del péndulo). Si se emplean las leyes de Newton y unos conocimientos básicos de matemáticas, se puede calcular el período del péndulo y resulta una expresión que depende de la raíz cuadrada del cociente entre la longitud de la cuerda y la aceleración de la gravedad (9,8 m/s2 en la superficie de nuestro planeta). Lo anterior significa que si hacemos la cuerda más corta el período disminuye, es decir, la rapidez con la que oscila aumentará, y viceversa. Probad con una cadena que llevéis al cuello con una medalla o similar, suspendiéndola y dejándola oscilar sujetando por puntos distintos a lo largo de su longitud, de tal forma que una parte de ella no participe en la oscilación. Comprobaréis que el tiempo empleado en cada oscilación completa (el período) aumenta con la longitud que hacéis oscilar de la cadena.

Sin embargo, un modelo mucho más próximo a la realidad a la hora de describir el movimiento pendular de algunos sistemas físicos, es el que se conoce como péndulo físico. En lugar de utilizar una lenteja de tamaño diminuto y una cuerda ideal sin masa y completamente rígida, indeformable, el péndulo físico consiste en un cuerpo real de tamaño finito y con una forma geométrica arbitraria. Puede ser cualquier cosa que se os ocurra: un cilindro, una esfera, un cubo o una patata. Lo realmente interesante es que si dicho cuerpo se suspende desde un punto cualquiera del mismo y se deja oscilar alrededor de un eje cualquiera, separándolo de su posición vertical natural, y procediendo de manera totalmente análoga a como hicimos con el péndulo simple, la expresión matemática que proporciona el período del péndulo físico depende ahora de la raíz cuadrada del cociente entre el momento de inercia del cuerpo (con respecto al eje alrededor del que está oscilando) y el producto del peso del cuerpo por la distancia entre el eje de rotación y el centro de gravedad del cuerpo.

El párrafo anterior puede tener un indudable interés para los profesores de Bachillerato o los de primer curso universitario, pero para el común de los mortales puede resultar un tanto confuso, cuando no incomprensible. Trataré de aclararlo un poco. El momento de inercia es una magnitud física que indica la resistencia que tiene un cuerpo a la hora de describir un movimiento de rotación alrededor de un determinado eje. No resulta igual de fácil hacer rotar un mismo cuerpo alrededor de ejes diferentes (probad a hacerlo y veréis). Todos tenemos la experiencia de que resulta mucho más fácil desplazar la posición de un cuerpo que pese poco que la de uno que pese mucho, es decir, podemos interpretar la masa de un cuerpo como el parámetro que mide la resistencia de ese cuerpo a moverse o trasladarse de un punto a otro. Pues bien, el papel que juega la masa en los movimientos de traslación lo juega el momento de inercia en los movimientos de rotación. ¿Así mejor?

El caso es que si el momento de inercia es grande el período del péndulo físico aumentará, mientras que lo mismo sucede si el peso y/o la distancia entre el eje de rotación y el centro de gravedad del cuerpo son pequeños. ¿Y qué relación guarda todo lo anterior con la velocidad a la que se desplazaban los lagartos terribles, los dinosaurios? Leed un poco más, ya casi estamos.

Casi todo lo que sabemos actualmente de los dinosaurios es a través de los registros fósiles. Hemos encontrado huevos y sabemos, por tanto, que eran ovíparos; hemos hallado coprolitos y sabemos que hacían cacota y conocemos algunas características de su dieta alimenticia; hemos descubierto miles de huesos e inferimos a partir de ellos sus dimensiones, peso aproximado, enfermedades, si luchaban entre sí o con otras especies. Pero también han aparecido huellas de sus pisadas. Y aquí está la clave del asunto que nos ocupa.

Efectivamente, cuando aparece impreso en el suelo el rastro del paso de un dinosaurio se puede inferir a partir del mismo la velocidad aproximada del animal, pues todo ser bípedo posee una cadencia de paso característica. Lo único que hace falta es establecer un paralelismo entre el movimiento de la pata del animal al dar sucesivos pasos con el movimiento de oscilación de un péndulo físico. Dicho en otras palabras, es la pata del animal la que se comporta como un péndulo al rotar alrededor de un eje que pasa por el punto de contacto entre el fémur y la cadera. Como la velocidad es el cociente entre la distancia recorrida y el tiempo empleado, basta dividir la distancia entre dos huellas consecutivas del mismo pie y el período del péndulo-pata.

Obviamente, el valor del período del péndulo depende del modelo geométrico concreto que tomemos para la forma de la pata del dinosaurio, es decir, no es lo mismo considerar que la pata es una barra cilíndrica (en cuyo caso el centro de gravedad está situado en el centro geométrico de la misma) o una barra no cilíndrica, más ancha por el muslo que por la pantorrilla. En el primer caso, y para un Tyrannosaurus rex, el momento de inercia por unidad de masa de la pata puede tomar un valor de unos 3,2 metros cuadrados (he tomado una longitud de 3,1 metros para la pata del rex); el período del péndulo es de unos 2,89 segundos y, en consecuencia, para una distancia entre huellas de unos 4 metros, la velocidad aproximada del T. rex asciende a 5 km/h, más o menos la velocidad a la que puede caminar una persona. Dicho así, parece que escapar de la persecución de un animal tan aterrador no constituye una misión imposible, precisamente.

Ahora bien, en el segundo caso, esto es, si en lugar de considerar la pata como una barra cilíndrica se trata como algo más bien semejante a un cono, el momento de inercia por unidad de masa puede reducirse hasta en un factor 5 o más, pasando de 3,2 metros cuadrados a unos escasos 0,64 metros cuadrados). El nuevo período de oscilación del péndulo pasa a ser de 1,3 segundos y, por tanto, la velocidad se incrementa hasta los 11 km/h. La cosa cambia, sin duda, pues la persona ya tiene que correr para salvar su vida y la resistencia para mantener esta velocidad se hace crítica.

Finalmente, ¿qué resultado habríamos obtenido de haber supuesto que la pata del dinosaurio se comporta como un péndulo simple, en lugar de hacerlo como un péndulo físico? Pues muy fácil, basta comparar las expresiones de los períodos para ambos tipos de péndulo y enseguida salta a la vista que  el primero es 1,22 veces mayor que el segundo, con lo que las velocidades estimadas resultantes se reducirían en el mismo factor: 4,1 km/h y 9 km/h, respectivamente.