La
Gran Pirámide de Keops fue construida para que sirviera como tumba del faraón
egipcio Khufu, de la cuarta dinastía. Su imponente aspecto a simple vista tiene
mucho que ver con sus descomunales dimensiones físicas, a saber, 139 metros de
altura (originalmente fueron 146,7 metros) y una base cuadrada de 230,4 metros
de lado. Si descontamos los espacios interiores: una galería, los pasadizos de
ascenso y descenso, así como las dos cámaras mortuorias de que consta, se puede
considerar, de forma bastante aproximada, que la gigantesca estructura constituye
un bloque macizo de piedra formada, básicamente, por caliza y granito.
El
historiador griego Herodoto, quien vivió durante el siglo V antes de Cristo,
estimó que la construcción de la Gran Pirámide requirió el esfuerzo de unos
100.000 hombres durante 20 años (a los que habría que añadir otros 10 años más
invertidos en la preparación del terreno del asentamiento definitivo). Veamos
si esta estimación de Herodoto tiene sentido, desde el punto de vista de la
física que conocemos.
Una
forma sencilla de calcular la energía necesaria para llevar a cabo una
construcción consiste en aplicar conocimientos básicos de física de
bachillerato. Si hacemos un poco de memoria o nos da por repasar lo allí
aprendido, sin más que dirigirnos a la lección del trabajo y la energía
potencial podremos comprobar rápidamente que una partícula (un objeto ideal sin
tamaño) de masa M que elevamos desde
el suelo hasta una altura H poseerá
una energía potencial gravitatoria de magnitud M g H (donde g = 9,8 m/s2 es el valor de la aceleración
de la gravedad en la superficie terrestre). Cuando el objeto considerado ya no
es una partícula, sino un cuerpo extenso, con tamaño y forma, la expresión de
la energía potencial anterior puede modificarse ligeramente sustituyendo la H por la altura del centro de masas del
cuerpo respecto al suelo (el centro de masas es el punto donde puede
considerarse concentrada toda la masa del objeto). Así, para nuestro caso de un
cuerpo en forma de pirámide, la energía potencial gravitatoria se puede
calcular mediante el producto M g H/4,
siendo M la masa total de la Gran
Pirámide y H su altura total (146,7
metros). Pues bien, y esto es lo interesante, la física nos dice que este valor
de la energía potencial ha de coincidir con el trabajo mecánico llevado a cabo
en la construcción del gigantesco edificio.
Si
habéis prestado atención, no habréis tenido dificultad ninguna para daros
cuenta de que el cálculo anterior no se puede llevar a cabo sin conocer el
valor de la masa de la pirámide. ¿Cómo obtenerlo? Muy fácil, tanto que casi me
da vergüenza explicarlo y que penséis que os estoy tratando como incompetentes.
Bien, si recordáis que un poco más arriba os dije que podíamos considerar la
Gran Pirámide como un imponente bloque macizo de caliza y granito, entonces ya
casi está todo dicho, pues la masa es el producto de la densidad media (unos
2600 kg/m3 para la caliza y entre 2700-2800 kg/m3 para el
granito) por el volumen (el volumen de una pirámide es el producto del área de
su base por su altura y dividido por 3). Así, se llega a que el valor de la
energía potencial o trabajo mecánico realizado para construir la Gran Pirámide
de Keops asciende a los 2,5 billones de joules o, equivalentemente, unos 600
millones de kilocalorías. ¿Cuántos hombres y durante cuánto tiempo trabajando
se necesitarían para satisfacer este enorme requerimiento energético? ¿Pudieron
emplear esta energía los trabajadores egipcios? ¿Cuántas kilocalorías (kcal) de
alimento ingerían diariamente? ¿Qué rendimiento energético posee un cuerpo
humano? Vayamos por partes.
En
nuestra época, un hombre necesita un promedio de unas 2.500 kcal diarias, a las
que hay que añadir otras 500 kcal más si desarrolla un trabajo físico
continuado. En cambio, es poco probable que hace más de 4.000 años la ingesta
calórica de los egipcios, teniendo en cuenta factores tales como la
disponibilidad de alimentos y el clima cálido, superase las 1.500 kcal. Más
aún, un ser humano actual es capaz de invertir un 20 % de la energía que
consume en trabajo físico, esto es, unas 500-600 kcal. Por el contrario, un
egipcio que viviese hace 40 siglos difícilmente rendiría más allá de un 10 %,
más o menos, unas 150 kilocalorías. Así pues, para alcanzar un trabajo total de
600 millones de kilocalorías se necesitarían los esfuerzos conjuntos de 4
millones de hombres por día de trabajo o, equivalentemente, 540 hombres
trabajando sin parar durante 20 años y 360 días cada año. Esto es un factor 185
menor que la cifra estimada por Herodoto.
¿Estaba
chalado Herodoto? ¿No tenía ni idea de matemáticas y utilizó en todo momento la
"cuenta de la vieja"? Pues lo cierto es que no lo sabemos y tampoco
es tan importante porque todo lo anterior no tiene otro fin que veáis que la
física que alguna vez estudiasteis o deberíais haber estudiado sirve para cosas
tan absolutamente inútiles como esta. No obstante, os diré que otros autores
contemporáneos, asimismo, han llevado a cabo estimaciones similares y han
obtenido valores también alejados de los proporcionados por Herodoto. Por
ejemplo, Illig y Löhner sugieren 6.700 trabajadores y 10 años de trabajo;
Lehner propone 20.000 hombres y 20 años; Mendelssohn va más allá e incluye en
su cálculo la estacionalidad y el trabajo total, no solo el llevado a cabo para
montar los bloques de piedra, y así llega a una cifra de entre 50.000 y 150.000
hombres afanados durante 100 años.
¿Cómo
puede afinarse un poco más nuestro cálculo inicial para que las cifras del insigne historiador griego y los otros autores no difieran tanto de la nuestra? Al fin y al cabo,
nuestra estimación es equivalente a haber cogido un solo bloque cuyo peso es
idéntico al de la Gran Pirámide y haberlo elevado verticalmente hasta una
altura de 36,7 metros (la cuarta parte de la altura total de la pirámide, los
citados 146,7 metros). ¿Qué simplificación, quizá demasiado restrictiva,
incluye dicho cálculo? Pues nada menos que haber ignorado la fricción, el
rozamiento, las pérdidas energéticas. ¿Podemos incluirlas, de alguna manera?
Pues sí. ¡¡Atentos!!
Como
no me quiero apartar ni desviar de la física de bachillerato, voy a ir un
poquito más allá del primer cálculo, el relacionado únicamente con la energía
potencial gravitatoria adquirida por nuestro bloque de piedra. Pensemos en uno
de los modelos más utilizados en los cursos de física elemental: sí, me estoy
refiriendo al puto plano inclinado. Imaginemos que subimos por dicho plano un
bloque de masa idéntica a la de la Gran Pirámide y que lo hacemos arrastrándolo
hasta una altura de 36,7 metros sobre el suelo (esto se hace para que las
condiciones sean equivalentes a las de nuestro primer cálculo). De esta manera,
las pérdidas energéticas vendrán impuestas por la fuerza de fricción entre el
bloque de piedra y la superficie del plano inclinado. Si se resuelven las
ecuaciones de Newton correspondientes al plano (no me detendré aquí a explicar
esto, pero para los que seáis profesores puede constituir un ejercicio
estupendo para vuestros estudiantes) se llega a que los requerimientos en
hombres y años de trabajo dependen, como es obvio, de dos factores: el
coeficiente de rozamiento entre el bloque de piedra y el plano (se puede coger
para este un valor aproximado de 0,75 correspondiente al deslizamiento entre
dos superficies, ambas de caliza) y el ángulo de inclinación del plano o rampa.
Así, cuando este es de unos 10° la cifra estimada es de 5.700 hombres
trabajando a lo largo de 10 años; para una pendiente de 5° se llega a 11.000
hombres en 10 años o, lo que es lo mismo, 5.500 hombres en 20 años. Como se
puede apreciar, la mejora es de casi un orden de magnitud.
Por
supuesto, todo lo anterior es, evidentemente, mejorable y el cálculo se puede
refinar cuanto se quiera. Pero el objetivo de este post parece claro y no es
otro que mostrar que incluso los conocimientos más básicos y elementales de física
adquiridos durante nuestra época escolar nos pueden proporcionar las herramientas
necesarias para acometer el estudio de todo tipo de disciplinas con las que
probablemente no hubiéramos soñado en un principio.
Fuente original:
A C Tort, Work, gravitational energy and the Great Pyramid Physics Education, Vol. 50, 516 (2015)
Por casualidad, yo acababa de leer esto http://www.batanga.com/curiosidades/5852/revelan-como-fueron-construidas-las-piramides-de-egipto-realmente
ResponderEliminarCuesta pensar que los egipcios hayan estado cien años construyendo las pirámides...parece cosa de locos
En varios sitios he leído que los constructores de las pirámides eran egipcios "contratados" (no esclavos, como se suele pensar). Por lo tanto no estarían 360 días al año trabajando. En época de crecida del Nilo trabajaban en la(s) pirámide(s); cuando el Nilo se retiraba, trabajaban en los campos de cultivo.
ResponderEliminarEl Nilo pasaba 3 meses al año inundado. Si le sumamos uno antes y otro después por variaciones anuales, tenemos que en las pirámides se trabajaba 5 meses al año (6 a lo sumo). Pero ojo! Esto para los trabajos "menos técnicos"; se supone que canteros y picapedreros trabajaban todo el año en el asunto.
Dicho lo cual, la idea de comprobar los datos de Heródoto utilizando datos de consumo energético me parece genial.
Un saludo y perdón por el tocho.
Pero que bueeeeeno! !!!!!! Otra cosa más para hacer con mis alumn@s en clase. Graaaaacias Sergio
ResponderEliminarEl cálculo del tiempo necesario para la construcción de la Pirámide de Keops era un ejercicio con el que retaba a los alumnos Pedro Ramón Moliner, Catedrático de la asignatura de Cinemática y Dinámica de Máquinas de la Escuela Superior de Ingenieros Industriales de Cataluña, a finales de los 70 y principios de los 80, es decir hace unos 35 años. ¿Algún otro exalumno lo recuerda?
ResponderEliminarPerdón, me he liado con el nombre de la escuela, quería decir Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales de Barcelona, (ETSEIB) de la Universidad Politécnica de Catalunya, (UPC)
ResponderEliminarSaludos.
Pues o nadie recuerda lo de la pirámide, o no hay otros alumnos de Pedro Ramón Moliner (PRM) que lean este blog. Era un excelente profesor, de los que estabas esperando que llegase la hora de su clase para disfrutar.
ResponderEliminarCuando planteó el reto a mi clase, ese año yo fui el único que presenté una solución. Calculé la energía necesaria del mismo modo que en este post y la potencia de una persona de forma diferente, vía la Fuerza x Velocidad que me pareció razonable que una persona pudiese desarrollar de forma continua 8 ó 10 horas al día. Cuando confrontamos soluciones, en el cálculo energético coincidíamos, pero en cambio PRM calculaba la potencia vía porcentaje de las calorías ingeridas, exactamente igual que como se explica en el post.
Recuerdo perfectamente que en aquella época había un estudiante muy popular por su activismo político que se llamaba Tort, (Tort es un apellido común en Cataluña, el significado de la palabra es “torcido”) Y curiosamente leo que el autor del artículo inicial en inglés es Alexandre Tort, un profesor de una Universidad brasileña que en su curriculum figura que hizo un post-doctorado en Barcelona. Me pregunto, ¿será Alexandre primo, sobrino o familia del alumno de PRM de nombre Tort que yo recuerdo? ¿O pudo conocer Alexandre a PRM en su visita a Barcelona y oír el reto de la pirámide?
Por cierto, a raíz de este post he buscado información sobre mi profesor Pedro Ramón Moliner en internet y he encontrado tres cosas que no sabía:
- Que en su último año de estudiante estuvo 10 meses encarcelado por el régimen franquista por su pertenencia a asociaciones estudiantiles por la democracia.
- Que era el hijo menor de la gran Filóloga María Moliner, sí esa a quien todos conocemos por su obra “Diccionario de uso del español” Nunca nos lo dijo, y mira que podía haber presumido de madre,…
- Y finalmente, cosa que tampoco sabía, que desgraciadamente mi profesor falleció en 1985, tan solo 4 años después de la muerte de su madre.
Sirvan estas líneas como homenaje a un gran profesor, del que guardo un gratísimo recuerdo, y gracias a ti Sergio por este maravilloso blog en el que siempre se aprende algo, saludos.