¿Cuánto tiempo tarda en caer a tierra un satélite artificial?

Diseñar y construir un satélite artificial no es un asunto excesivamente complicado, hay cosas mucho más difíciles como aprobar el examen de física en el que te preguntan cómo diseñar y construir un satélite artificial. De hecho, desde hace algo más de una década muchas universidades han desarrollado pequeños satélites, tanto con propósitos educativos como de investigación. Sin embargo, antes de ser lanzados y puestos en órbita, sus diseñadores han de ser capaces de demostrar que sus ingenios espaciales han de poder permanecer en su sitio un máximo de 25 años antes de caer nuevamente a tierra. Todo artefacto que se mantenga en órbita pero no esté operativo, es decir, haya concluido la misión para la que fue dispuesto, se considera "basura espacial". En la actualidad existen unos 8000 de estos objetos dando vueltas alrededor de nuestro planeta.

Transcurrido un cierto tiempo y debido a la interacción del satélite con la atmósfera terrestre, que ejerce un efecto de fricción considerable, aquel acaba por hacer una re-entrada y, como consecuencia de su elevada velocidad, puede incinerarse total o parcialmente y terminar por caer al suelo, algo que constituye un tema de interés público por razones evidentes.

En este post trataré de contar de la forma más sencilla posible cómo se puede estimar de forma aproximada, y utilizando conocimientos que todos hemos adquirido durante nuestra educación secundaria, el tiempo que transcurre desde que es lanzado a su órbita hasta que se precipita sobre la superficie de la Tierra. Resulta obvio que el tiempo real se puede calcular de formas mucho más precisas y así lo hacen, en efecto, los ingenieros de la NASA o la ESA, pero sus resultados no difieren enormemente de los que un chaval de 16-18 años puede obtener y esto puede constituir un elemento de motivación nada despreciable en los tiempos que corren.

Bien, comenzaré. Lo primero que se puede hacer es simplificar el problema que se pretende resolver, una técnica habitual en ciencia y más en física. Consideraré, pues, que nuestro satélite en cuestión tiene forma cúbica y que describe una órbita circular alrededor de la Tierra. Además, y aquí radica la diferencia principal con los casos sencillos que se consideran habitualmente en las aulas de nuestros hijos, el rozamiento juega un papel esencial en la resolución de nuestro problema, ya que es precisamente la causa de que el satélite acabe su vida orbital.

Por lo tanto, las dos únicas fuerzas que actúan sobre el satélite en órbita son: la fuerza de la gravedad (esto es, su peso, ejercido por la Tierra) y la fuerza de arrastre o rozamiento (ejercida por la atmósfera). La primera es de sobras conocida, y viene dada por la célebre ley de la gravitación universal de Newton. La segunda no resulta tan conocida por los chavales de Secundaria, pero sin más que consultar cualquier manual avanzado (no demasiado) se puede comprobar que también es empleada a menudo en situaciones muy diversas.

donde cd recibe el nombre de coeficiente de arrastre, una cantidad que depende de la forma geométrica del satélite; A es el área de la superficie que se enfrenta al aire (en nuestro caso, una de las caras del cubo, es decir, un cuadrado; los otros dos factres son la densidad del aire y la velocidad del satélite artificial. Una vez conocidas las formas precisas de ambas fuerzas, tan sólo es necesario aplicar la segunda ley de Newton de la mecánica para obtener la posición del satélite en cada instante de tiempo. Desafortunadamente, la ecuación resultante y su resolución quedan fuera del alcance de los conocimientos básicos de los estudiantes de nuestros colegios e institutos. Pero que no cunda el pánico, ya que para algo se estudian métodos alternativos y nuestros profesores, tan maltratados, ignorados y vilipendiados por la sociedad de mierda y tiquismiquis en la que vivimos, vienen al rescate. Todos los que somos profesores sabemos que en no pocas situaciones hemos sido asaltados por nuestros alumnos cuando les explicamos que existe otra forma de resolver los problemas de mecánica sin acudir directamente a la segunda ley de Newton. ¿Cuál es esa otra forma? Pues ni más ni menos que la MARAVILLOSA e INCOMPARABLE ley de conservación de la energía.

En efecto, esta ley viene a decir que si estimamos las energías cinéticas (debidas al movimiento del satélite), y las energías potenciales gravitatorias (debidas a la fuerza de atracción gravitatoria ejercida por la Tierra) en dos posiciones diferentes del satélite (por ejemplo, a dos distancias diferentes de la Tierra, como r_A y r_B en la figura) y las comparamos veremos que no coinciden. Y la diferencia entre ellas es justamente la energía perdida a causa de la fricción con la atmósfera, es decir, la energía que se ha "llevado" la fuerza D de arrastre.

Entonces, únicamente resta utilizar aquello que aprendimos los mayores hace tantos años de que la potencia (la velocidad con la que cambia la energía) es igual al producto de la fuerza por la velocidad para llegar a la expresión:

Para poder escribir la ecuación anterior hemos tenido que hacer dos suposiciones, a saber: primero, que la velocidad del satélite entre las posiciones A y B es aproximadamente constante (obviamente, esto no es cierto, porque de serlo el satélite no caería) e igual al valor medio de las mismas a esas distancias precisamente. Y segundo, que la densidad de la atmósfera solamente depende de la altura y tiene un valor constante entre las posiciones A y B. Resulta obvio decir que sería de enorme ayuda disponer de una tabla (esto constituye un buen ejercicio de investigación para los chavales) en la que se mostrasen los valores de las altitudes, las densidades del aire a dichas altitudes y las velocidades del satélite también a esas altitudes, que vienen dadas por:

Así, para un satélite en forma cúbica, con c_d = 1,05 y de 1 kg de masa, 10 cm de arista e inicialmente situado en una órbita a 600 km de la Tierra, se obtiene que el tiempo empleado en precipitarse al suelo desde la fecha de su lanzamiento asciende a 31,75 años. Como ilustración se puede decir que de estos casi 32 años, 17,66 corresponden al tiempo de caída entre los 600 km y los 550 km; entre los 550 km y los 500 km emplea otos 8,11 años; 3,57 años para caer entre 500 km y 450 km; 1,5 años entre los 450 km y los 400 km de altura; y así, sucesivamente. Por ejemplo, entre los 200 km de altura y los 150 km tan sólo tarda en caer 24 horas y de los 150 km hasta los 100 km únicamente 6 minutos. Por debajo de los 100 km de altura el satélite suele arder y/o fragmentarse.

Finalmente, podemos decir que los cálculos de la NASA para el caso de un satélite como el que acabamos de considerar arrojan un valor del tiempo de caída estimado de solamente 18 años, es decir, poco más de un 56 % de nuestro valor. Esta discrepancia se debe a efectos no tenidos en cuenta, como pueden ser la presión de radiación ejercida por el Sol sobre el satélite o la actividad geomagnética, entre otros. Otra buena oportunidad para que nuestros estudiantes amplíen sus conocimientos e intenten ir más allá de donde nosotros, los profesores, les hemos dejado. ¡Ay del discípulo que no supere a su maestro!

Fuente original:

Antonio Lira, How long does it take for a satellite to fall to Earth? Physics Education, Vol. 50, 71 (2015)

¿Y si la Tierra fuese plana (y hueca)?

El mito de la Tierra plana es uno de los más célebres de la historia de la Humanidad. ¿Quién no recuerda la simpática pero completamente falsa anécdota del famoso "huevo de Colón"? Lo cierto es que la verdad sobre la redondez de la Tierra ya era conocida desde mucho tiempo atrás. Sin embargo, que muchos siglos después sigan existiendo personas que aún no se crean que nuestro planeta tiene forma de esfera ligeramente achatada por los polos debido a la propia rotación terrestre no deja de ser preocupante cuando no irrisorio, descabellado o imbécil, si se me permite el amable calificativo.

Pues así es, en efecto, a día de hoy, en pleno siglo XXI e ignorando pruebas tan evidentes e incontestables como las imágenes vía satélite, entre otras, lo cierto es que todavía quedan unos cuantos cenutrios descerebrados a los que ninguna evidencia parece convencer (si no me creen, prueben a consultar esta web, digna de la más alucinante de las experiencias con sustancias estupefacientes). Más aún, no contentos ni satisfechos con creer a pies juntillas que la Tierra es plana, algunos incluso van más allá y para ellos, además, también es hueca. Como lo oyen. 

Para aquellos que sean fieles a mis andanzas blogueras o a mis libros no hace falta decirles que la cuestión de una Tierra hueca ya la abordé en el capítulo 14 de mi primer libro: La guerra de dos mundos. Asi pues, hoy me centraré exclusivamente en el caso de la Tierra plana y también en el de una Tierra plana y hueca al mismo tiempo. 

Bien, lo primero que hay que decir es que entre los chalados también existen variantes, tantas como versiones distintas de Tierras planas. Entre estas, una que, particularmente, me hace mucha gracia es la que supone que nuestro planeta es un enorme disco en cuyo centro se sitúa el Polo Norte y que se encuentra rodeado a lo largo de toda su circunferencia por un muro de hielo (la Antártida) lo suficientemente elevado como para impedir que el agua de los océanos se desborde. El Polo Sur ni se menciona (guiño, guiño, risas, guiño, risas). 

Hasta aquí las majaderías. A partir de ahora, la ciencia. Veamos, ¿qué tal si nos planteamos el siguiente ejercicio? Supongamos que hemos enloquecido y damos por buenas las descabelladas ideas de los cabezasplanas. Calculemos, por qué no, la aceleración de la gravedad de un planeta Tierra que fuese plano y no esférico. ¿Cómo proceder? 

Fácil, al menos si poseemos unas nociones básicas de matemáticas y física (claro que si esto también lo negamos, entonces apaga y vámonos). Cualquier estudiante de Bachillerato ha oído hablar en sus clases del teorema de Gauss, una herramienta muy útil a la hora de calcular intensidades de campos producidos por distribuciones de carga eléctrica altamente simétricas, como pueden ser un cable de antena o de corriente cilíndrico, una esfera cargada eléctricamente, la placa de un condensador plano, etc. Pues bien, este mismo teorema de Gauss también resulta aplicable para campos gravitatorios como el que queremos (en realidad, el teorema es válido, asimismo, para todos los campos que varíen con el inverso del cuadrado de la distancia). La técnica consiste en elegir un superficie arbitraria y determinar el flujo del campo que la atraviesa, sabiendo la cantidad de carga eléctrica o la masa que encierra dicha superficie. Para los chavales hacer esto no debe resultar excesivamente difícil, si se ayudan del dibujo que se muestra en la figura (su profesor puede servir de guía en caso necesario), en el que la Tierra está representada por un corte transversal, en color gris, del cilindro. Las superficies dibujadas con trazos discontinuos S1 y S2 se utilizan para determinar el campo gravitatorio, g, tanto en el interior como en el exterior del planeta, respectivamente. 

Aunque bien es cierto que la gente que cree firmemente en una Tierra plana no suele manifestar una confianza similar en la existencia de la fuerza de la gravedad, los que nos encontramos al otro lado del río de la necedad irracional, debemos admitir ciertas suposiciones razonables y una de ellas pasa por suponer que, en lugar de un disco, nuestro planeta es más bien un cilindro con un radio mucho mayor que su altura, lo cual no dista demasiado de la idea original, pero que nos va a permitir hacer un cálculo adicional del espesor o grosor de la Tierra (la altura del cilindro). Además, ignoraremos a propósito el valor de la gravedad terrestre en los puntos de la periferia del cilindro, es decir, en la Antártida. ¡Que se jodan los pingüinos! 

Una vez todo dispuesto, se aplica el teorema de Gauss y se obtiene que la intensidad del campo gravitatorio o, lo que es lo mismo, el valor de la aceleración de la gravedad en la superficie de las bases del cilindro es 

g = 2 pi d G H 

donde G es la constante que aparece en la ley de la gravitación universal de Newton, d es la densidad de masa promedio de nuestro planeta y H el espesor del mismo. 

La expresión anterior permite deducir el valor de H, si se admite que los valores de G, d y g son los conocidos, esto es, los medidos experimentalmente. Así, se llega a que H = 4247 km. Esta es la profundidad que debe tener un hoyo si queremos visitar a los habitantes del otro lado de nuestro planeta. Nada en comparación con los 12.750 km de diámetro que tiene la Tierra real. 

Podemos ir un poquito más lejos y determinar el tamaño del disco en el que supuestamente vivimos. Para ello, solamente necesitamos conocer el valor de la masa de la Tierra (5980 trillones de toneladas). Teniendo en cuenta que la masa es igual al producto de la densidad media por el volumen del cilindro, se llega a que el radio de este cilindro debe ser de 285.000 km. Prácticamente, ¡un 40 % del tamaño del Sol! Realmente estamos viviendo en un planeta muy grande y no nos hemos enterado. 

Si llevamos a cabo un análisis completamente análogo para el caso de que la Tierra fuese plana pero también hueca, concluiremos muy fácilmente que en este caso el valor de la gravedad terrestre será justo el doble que para el caso únicamente plano. Las conclusiones obvias son, por un lado, que el espesor de la Tierra es ahora de 2124 km y nuestros vecinos del otro lado del mundo estarán el doble de cerca que antes y, por otro lado, que el radio del cilindro y, por ende, el tamaño de nuestro planeta se verá incrementado hasta los 400.000 km, un 57 % del tamaño de nuestra estrella, el Sol. ¡Tres hurras por las cabezas planas y huecas! Hip, hip...

Fuente original:

A.C. de Azevedo, L.P. Vieira, C.E. Aguiar and A.C.F. Santos, Teaching light reflection and refraction to the blind. Physics Education, Vol. 50, 15 (2015)

Cómo enseñar las leyes de la óptica a personas ciegas

La ciencia es el mayor logro del ser humano, de eso no me cabe la menor duda. Pero, desafortunadamente, no todo el mundo tiene la posibilidad de acceder a su conocimiento y disfrute, ya sea por razones económicas, sociales, políticas, religiosas o de cualquier otra índole. Entre estas últimas podemos incluir las deficiencias físicas como la ceguera, por ejemplo.

Es evidente que una persona con seria reducción de su sentido de la vista puede leer un libro de texto, con tal de que esté adaptado a sus necesidades. El material auditivo tampoco presenta dificultad. Ahora bien, cuando se trata de adquirir experiencias de determinados fenómenos físicos en los que el sentido de la vista resulta fundamental, la cosa se pone seria de verdad. Y, entre dichas experiencias, pocas con impedimentos intrínsecos del nivel de las relacionadas con la luz, esto es, la óptica.

Tradicionalmente, la educación de las personas con necesidades especiales ha corrido a cargo de centros de enseñanza especializados. Sin embargo, las ideas modernas de la pedagogía apuntan cada vez más en la dirección de intentar integrar a estas personas en los centros de enseñanza tradicionales, junto al resto de los alumnos. Por supuesto, lo anterior no significa que no se requieran profesionales docentes especializados, así como materiales diseñados y dirigidos específicamente hacia las necesidades concretas de los estudiantes "especiales". 

Para una persona ciega, el sentido de la vista debe suplirse a base del tacto y el oído. Así pues, la mayoría de los experimentos de óptica deben ser adaptados para convertir la luz en señales que puedan ser percibidas e interpretadas con ayuda de estos dos sentidos.

A este respecto, los profesores responsables del estudio citado al final del post, recomiendan a los profesores el uso de recursos desde la perspectiva de la construcción de modelos. En concreto, el empleo de láseres de una forma no tradicional, aunque obviamente respetando todas las indicaciones y medidas de seguridad que un instrumento tal requiere (potencia, protección de los ojos, etc.) ya que incluso cuando se utiliza un dispositivo de luz láser de baja potencia, una persona ciega no posee el acto reflejo de cerrar los ojos cuando el haz impacta en ellos.

Un aprendizaje activo, empleando la construcción de un modelo, requiere la coordinación e integración de los sucesos observados mediante el método científico más que una mera colección de hechos y fórmulas. De esta manera, la información se organiza en una teoría científica para su aplicación a situaciones físicas reales que hagan germinar la intuición física en los estudiantes.

Para introducir el concepto de luz, el profesor puede exponer al estudiante ciego a la luz solar y, posteriormente, a la de una vela o lámpara incandescente. Finalmente, se puede llevar a cabo una experiencia similar con un láser de baja potencia. El objetivo es que relacione la falta de estímulo visual con la sensación de calor proveniente de la fuente luminosa. Procediendo así, el alumno es capaz de identificar el punto en el que la luz del haz sensibiliza su piel, con lo cual puede seguir fácilmente la trayectoria del láser sin más que ir desplazando paulatinamente su mano o brazo, por ejemplo.

El camino seguido por la luz puede dibujarse con ayuda de una lámina de espuma o corcho sobre cuya superficie el estudiante clava chinchetas o similar en los puntos donde su mano o brazo siente la sensación de calor producida por el láser.

Con todo lo anterior, las leyes de la reflexión (el ángulo formado por la luz incidente y la normal es igual al ángulo formado por la luz reflejada) y de la refracción (el producto del índice de refracción del medio desde el que incide la luz por el seno del ángulo de incidencia es igual al producto del índice de refracción del medio en el que penetra la luz por el seno del ángulo de refracción) pueden visualizarse fácilmente, tal y como muestran las figuras adjuntas, siempre con la asistencia y la guía del profesor especializado.

Fuente original:

A.C. de Azevedo, L.P. Vieira, C.E. Aguiar and A.C.F. Santos, Teaching light reflection and refraction to the blind. Physics Education, Vol. 50, 15 (2015)

¿Soy leyenda?

Tal día como hoy, 13 de junio, pero de 1831 nacía uno de los mayores científicos de la historia: James Clerk Maxwell. Asimismo, tal día como hoy, pero hace nueve años, en 2006, este señor que suscribe tuvo la loca idea de entrar en Blogger y comenzar a escribir en un blog cuyo nombre era Física en la Ciencia Ficción. La primera entrada, muy breve, tan sólo contenía un párrafo con unas cuantas líneas:


¡Bienvenidos a todos! Mi nombre es Sergio L. Palacios y soy profesor titular de física aplicada en la universiad de Oviedo. Desde hace dos años imparto una asignatura llamada Física en la Ciencia Ficción, donde vemos películas de ciencia ficción y las analizamos, posteriormente, desde un punto de vista científico. De esta forma, aprender física resulta mucho más ameno y al alcance de estudiantes de diferentes carreras. Con este propósito de acercar la física a todos aquellos que no tengáis la fortuna de estar matriculados en mi asignatura, inauguro este blog. Cada semana intentaré analizar una película distinta y podréis enviar vuestros comentarios. También os recomendaré libros muy interesantes si estáis interesados en profundizar en algunos de los temas expuestos. Así pues, acompañadme en esta aventura que comienza aquí y ahora. ¡Que lo disfrutéis!


Atrás han quedado más de 1.500.000 páginas vistas, nueve cursos increíbles de una asignatura irrepetible, dos libros publicados, decenas de conferencias impartidas en centros de enseñanza de toda España, multitud de apariciones en prensa escrita, radio y hasta TV, artículos publicados en revistas de divulgación como QUO y Redes para la Ciencia, colaboraciones en diarios como El Correo, reconocimientos como el 2º puesto en los Premios Bitácoras en la categoría de Mejor Blog de Educación y 3º puesto en la categoría de Mejor Blog de Ciencia durante el año 2010, y el Premio al Mejor Divulgador de Naukas en 2013. 

Quién lo iba a decir, aquel lejano ya 13 de junio de 2006. Pues ya veis, hasta aquí hemos llegado, de momento. Y todo ello no hubiera sido posible sin todos y cada uno de vosotros, todos cuantos habéis pasado alguna vez por esta vuestra casa. Gracias a los que empezasteis, a los que os habéis unido después, a los que se han ido y a todos cuantos aún seguís ahí, al otro lado de la pantalla del ordenador, smartphone, tableta o similar. La leyenda continúa...

Las personas que usan habitualmente Internet poseen mayor cultura científica

En los últimos años es habitual leer en los medios noticias relacionadas con la cultura científica de las personas. Normalmente, para conocer esta información se recurre a encuestas hechas a personas elegidas al azar (mediante listín telefónico o táctica similar) con el fin de que no haya sesgos. El grupo encuestado debe ser numeroso y representativo de toda la sociedad, considerando características como la edad, género, nivel de estudios, etc.

Recientemente, dos investigadores de la Universidad de Stanford y del Darmouth College, en los Estados Unidos, emplearon una muestra de 1037 encuestas que constaban de las siguienets 13 preguntas:

1.- El centro de la Tierra está muy caliente

2.- Uno más uno suman tres

3.- Los continentes se han desplazado durante millones de años y seguirán haciéndolo

4.- ¿El Sol gira alrededor de la Tierra o la Tierra alrededor del Sol?

5.- Las fresas son rojas

6.- Toda la radiactividad es de origen humano

7.- Los electrones son más pequeños que los átomos

8.- Un día tiene 5 horas

9.- Los láseres funcionan utilizando ondas acústicas

10.- El universo comenzó con una gran explosión

11.- ¿Cuál es su sexo?

12.- ¿Cuál es su edad?

13.- ¿Cuál es su nivel más alto de educación?

Las respuestas que podían elegir en las preguntas número 1,2,3,5,6,7,8,9,10 eran Verdadero/Falso. La respuestas a elegir en la pregunta número 5 eran Tierra alrededor del Sol/Sol alrededor de la Tierra. Las preguntas número 2,5,8 eran de control y su finalidad consistía en asegurarse de que el encuestado había leído las preguntas y no se había limitado a responder al azar. Por supuesto, se eliminaron de la estadística final todas aquellas encuestas que tuviesen todas las respuestas incorrectas o que hubiesen fallado alguna de las preguntas de control (aproximadamente, un 2,2 % del total).

Hasta aquí todo parece bastante anodino, usual, una encuesta más sobre el nivel cultural relativo a conocimientos científicos básicos entre la población de Estados Unidos. Sin embargo, los autores del trabajo añadieron un elemento de originalidad en su muestra, en la población objeto de la encuesta. La enfocaron exclusivamente a personas anónimas que estuvieran inscritas en la web Amazon Mechanical Turk (AMT: www.mturk.com), una plataforma de mercado laboral online donde la gente cobra por realizar pequeñas tareas. ¿Y por qué optaron por esta población? Pues porque, generalmente, las personas que allí se encuentran no suelen ser representativas del conjunto de la sociedad, sino más bien se caracterizan por ciertos sesgos, entre ellos ser más jóvenes, con mayor nivel académico, menos diversos racialmente y hombres preferentemente, entre otros. Pero el más importante: suelen ser personas que utilizan Internet asiduamente.

Antes de publicar los resultados, los autores del trabajo llevaron a cabo una serie de "correcciones" y aplicaron filtros que tuviesen en cuenta las diferencias de su población con otra elegida al azar por la National Science Foundation que anualmente lleva a cabo la General Society Survey (GSS).

Antes de usar las técnicas del párrafo anterior, los resultados mostraron que los porcentajes de respuestas correctas a las 7 preguntas de carácter científico (1,3,4,6,7,9,10) eran del 98 %, 97 %, 96 %, 90 %, 82 %, 83 % y 82 %, respectivamente. Es decir, el promedio total de aciertos llegaba al 90 %. Por contra, la GSS reflejaba un promedio total de aciertos de tan sólo el 65 %, nada menos que 25 puntos por debajo. Por ejemplo, en esta misma GSS se obtenía que uno de cada cuatro norteamericanos cree que el Sol gira alrededor de la Tierra o que uno de cada dos, prácticamente, no sabe que los átomos son mayores que los electrones. En cambio, los mismos porcentajes en sujetos de AMT no pasaban del 4 % (uno de cada 25) y del 18 % (menos de uno de cada cinco).

Una vez aplicados los filtros correspondientes para eliminar las diferencias demográficas de la muestra en comparación con la procedente de la encuesta GSS aleatoria los resultados no se diferenciaban más que en un punto porcentual, habían descendido del 90 % al 89 %. La conclusión estaba clara: las peculiaridades demográficas no eran la explicación entre ambas poblaciones, la de AMT y la de GSS. Más aún, en esta última los porcentajes de acierto para las mujeres era del 57 % mientras que para los hombres era del 72 %. En la primera eran 87 % y 91 %, respectivamente. Cuando se analizaron las poblaciones por edades y nivel académico ocurría algo parecido, es decir, siempre había una diferencia mínima entre los grupos de la encuesta AMT y mucho más pronunciada en los de la GSS. Los investigadores atribuyen los resultados a que las personas de AMT poseen niveles considerablemente mayores de involucramiento en Internet. ¿Y tú qué opinas?

Fuente original:

Emily A. Cooper and Hany Farid, Does the Sun revolve around the Earth? A comparison between the general public and online survey respondents in basic scientific knowledge. Public Understanding of Science, 1-8 (2014)

El dilema de Tarzán (3ª parte)

Una vez resuelto el dilema al que se enfrentaba Tarzán al principio de esta trilogía, resulta muy conveniente que los estudiantes se habitúen a extraer conclusiones a partir del análisis de los casos límites y las posibles excepciones a las que puede dar lugar su trabajo teórico previamente realizado.

1.- La primera cuestión que pueden plantearse es qué sucede cuando Tarzán se acerca a la liana a gran velocidad. Para responder correctamente conviene dibujar la gráfica que aparece al final del post anterior, es decir, la que representa la distancia recorrida por el hombre mono en función del ángulo. A medida que vayan dando distintos valores, cada vez mayores, a la velocidad v, el ángulo para el que aparece el máximo en la curva se irá aproximando sucesivamente a 45°. Es decir, cuanto más velozmente se aproxime Tarzán a la liana, tanto más parecida será su distancia máxima alcanzada a la que se obtiene en el caso de un lanzamiento a nivel del suelo (punto de lanzamiento y de impacto situados en la misma horizontal).

Mucho más interesante y curioso resulta el caso en que la velocidad de carrera de Tarzán es pequeña. Entonces aparecen discontinuidades en el gráfico "distancia versus ángulo". ¿Por qué? Pues porque  se necesita una velocidad mínima para que Tarzán alcance suficiente altura y cualquier otra velocidad más pequeña haría que el argumento de la raíz cuadrada fuese negativo y, en consecuencia, el resultado sería un número imaginario sin sentido físico. Por lo tanto,

Así, en el caso particular representado gráficamente, es decir, cuando L = 3 m, la velocidad mínima de Tarzán para que pueda saltar con cualquier ángulo comprendido entre 0° y 90° es v = 7,67 m/s (por eso el caso dibujado, v = 10 m/s, no presenta ningún ángulo prohibido).

2.- La influencia de la longitud de la liana, L, también presenta un interés indudable. En efecto, tomando el límite cuando L tiende a cero en la expresión de R1 obtenida en el post anterior se llega a la misma que para el caso de un lanzamiento desde un acantilado de altura H, como también hicimos al principio del post anterior. La conclusión es que el tamaño de la liana resulta del todo irrelevante.

Por otro lado, si la liana es larga vuelven a aparecer raíces cuadradas de números negativos, lo que significa que una vez más existen ángulos críticos por encima de los cuales la velocidad de Tarzán no es lo suficientemente elevada como para alcanzar las alturas a las que corresponden dichos ángulos.

3.- Finalmente, podemos considerar el caso en que varía la altura h a la que la liana se encuentra sobre el suelo. O lo que es lo mismo, la estatura de Tarzán. Volviendo a la gráfica "distancia versus ángulo" y dibujándola para valores distintos de h se encuentra que a medida que ésta aumenta el ángulo para el que se logra la mayor distancia alcanzada disminuye hasta hacerse cero. Dicho en lenguaje más accesible: cuanto más alto sea Tarzán antes deberá soltar la liana.

Como conclusión podemos interaccionar con los estudiantes y preguntarles acerca de las dificultades que han tenido durante el desarrollo de la actividad propuesta. Obviamente, un trabajo teórico como el que hemos presentado a lo largo de estas tres entradas, presenta indudables ventajas frente al caso, por ejemplo, en que la actividad fuese diseñada como un experimento práctico, ya que en tal caso las longitudes de las lianas, las estaturas de los estudiantes y el lugar de la experiencia podrían estar severamente restringidos. En cambio, con ayuda de un ordenador, la simulación permite acceder fácilmente a multitud de valores numéricos de todos los parámetros físicos relevantes. También hace posible poner en práctica una táctica muy útil en el trabajo científico: prueba y error. Probando un amplio grupo de valores numéricos distintos los estudiantes forzosamente terminarán por encontrarse con los casos problemáticos analizados más arriba. Y al presentarse estas dificultades deberán plantearse sus causas, lo cual fomenta y estimula el pensamiento creativo. El profesor debe limitarse a orientar y dirigir el trabajo del estudiante cuando éste se desvíe por caminos improductivos. O no...

Fuente original:

Matthew Rave and Marcus Sayers, Tarzan's Dilemma: A Challenging Problem for Introductory Physics Students. The Physics Teacher, Vol. 51, 456 (2013)

El universo accidental (reseña)

Dicen que las fragancias más exquisitas vienen en frascos pequeños. Pues esto es justamente lo que le ocurre a este breve pero intenso libro de Alan Lightman, físico teórico, escritor y profesor de física y de escritura creativa en Harvard y el MIT (Massachusetts Institute of Technology).

El texto, compuesto por una serie de siete capítulos independientes, de unas 20 páginas en promedio, que corresponden a otros tantos ensayos recopilados por el autor, diserta sobre una amplia gama de cuestiones científicas o humanas, siempre salpicadas por experiencias personales del propio Lightman. Así, en el primer capítulo, el que da título al libro, se pregunta si la especie humana no somos más que un mero accidente en el universo, cuestión que aprovecha muy hábilmente para mencionar temas como la inflación, la inflación eterna, la idea de multiverso, así como el ajuste fino de las fuerzas fundamentales, el diseño inteligente, la energía oscura, etc.

El anhelo humano de permanencia y la tenaz resistencia que oponemos, consciente o inconscientemente, a casi todo tipo de cambios, es el tema central del segundo capítulo (el universo provisional) donde el protagonista científico es el segundo principio de la termodinámica, cosa que el autor aprovecha para pasar al eterno e inacabable debate entre ciencia y religión, en el siguiente capítulo: el universo espiritual. Para Lightman la ciencia no es la única forma de conocimiento fiable que existe. Muy al contrario, como buen humanista además de científico, sabe que hay cuestiones más allá del alcance de los tubos de ensayo y las ecuaciones, cuestiones de las que deben ocuparse las artes y las humanidades. No todo está al alcance del análisis racional. La belleza, la armonía y, sobre todo, la simetría nos atraen y nos parecen bellas. La naturaleza parece tener predilección por la simetría (copos de nieve, estrellas de mar, las celdas de una colmena, etc.) y algunos modelos teóricos de la física presentan simetrías importantes y decisivas. De hecho, gracias a la atracción humana por la simetría se pudieron sentar las bases para la unificación de las interacciones electromagnética y débil, así como el Modelo Estándar de la física de partículas. Curiosamente, aunque todo está hecho de materia, de átomos y partículas sujetas a dichas simetrías y a las leyes de la física, nuestras mentes incluidas, lo cierto es que el arte, la literatura no obedecen reglas establecidas, objetivas, cuantificables. Más aún, parece haber evidencias de que en estas ramas del saber, una cierta asimetría constituye la clave de lo que nos parece bello. Tanto lo simétrico como lo caótico nos produce aburrimiento, falta de interés y rechazo.

Los tres últimos ensayos están dedicados la inmensidad de cuanto nos rodea, desde los océanos hasta el universo entero, pasando por la Tierra, los planetas, estrellas y galaxias. También a la asombrosa "legalidad" del cosmos, que obedece siempre y sin excepción las leyes de la naturaleza, de carácter matemático. Finalmente, el universo incorpóreo trata de todo aquello que no vemos o no percibimos directamente, sino más bien inferimos a través del razonamiento abstracto y los experimentos ideados a partir del mismo: desde Foucault y su forma de demostrar la rotación terrestre, Maxwell y Hertz y la existencia de las ondas electromagnéticas y el espectro, la dilatación del tiempo de la relatividad, las dimensiones extras de la teoría de cuerdas, incluso el peculiar mundo virtual en el que se desenvuelve la vida de los jóvenes actuales. En definitiva, un paseo por todo aquello que nos hace humanos y nos invita a reflexionar sobre de dónde venimos y hacia donde nos dirigiremos como especie...

El dilema de Tarzán (2ª parte)

Una vez planteado el problema al que debe enfrentarse el Rey de los Monos, el siguiente paso lógico consiste en calcular la distancia horizontal de un proyectil que ha sido lanzado desde lo alto de un acantilado, por ejemplo, es decir, desde un punto situado a una altura H sobre el suelo (quizá algunos profesores ya hayan realizado este ejercicio elemental en sus clases, con lo que sus estudiantes podrán comprobar su utilidad en el presente desafío).

Si se utilizan las técnicas habituales en el estudio de la cinemática del movimiento parabólico y se plantean sendas ecuaciones correspondientes a ambas coordenadas (horizontal y vertical) tal y como se han visto en el aula, la expresión que se obtiene para dicha distancia máxima horizontal es:

Es fácil comprobar que la expresión anterior se reduce a la muy conocida

si se calcula el límite de aquella cuando H tiende a cero, lo cual puede reforzar la confianza de los estudiantes y animarles a continuar con la pequeña investigación que han emprendido, además de proporcionarles la oportunidad de repasar el concepto de límite de una función, así como la relación del seno del ángulo doble.

De la primera ecuación se pueden sacar conclusiones muy interesantes, tales como:

1.- El ángulo óptimo para lograr que la distancia alcanzada por el proyectil sea máxima puede calcularse de la forma habitual, es decir, hallando la derivada con respecto al ángulo e igualando a cero. Obviamente, esto resulta algo más engorroso que para el caso elemental en que los puntos de lanzamiento y de impacto se encuentran sobre la misma horizontal, en cuyo caso ya habíamos dicho que el ángulo óptimo era de 45°.

2.- Si se procede a representar gráficamente (aquí puede ser de ayuda algún software específico como Mathematica, Maple, Excel, etc.) el resultado teórico y prestando atención se deduce que el ángulo óptimo de lanzamiento es tanto menor cuanto mayor sea la altura del acantilado, H.

3.- Por tanto, si el acantilado es muy alto, el lanzamiento de máxima distancia se acerca mucho a un tiro horizontal, esto es, con theta = 0.

Hasta aquí, todo lo que necesitamos para resolver el dilema de Tarzán que nos habíamos planteado al principio. Veamos, si os habéis dado cuenta, aún no conocemos el valor de la velocidad del hombre-mono justo en el momento en que suelta la liana (esto es, la velocidad inicial v₀ con la que se efectúan los lanzamientos parabólicos). Una excelente oportunidad para recordar el principio de conservación de la energía mecánica:

y como se puede ver en la figura 

entonces se puede escribir lo siguiente:

Ahora, si sustituimos este valor en la primera de las ecuaciones, la de arriba del todo, tendremos la máxima distancia alcanzada por Tarzán, siempre que la midamos desde el punto en el que éste suelta la liana. En cambio, si deseamos saber la distancia total, medida desde el punto en el que Tarzán agarra la misma liana en posición vertical, tan sólo debemos sumar a la cantidad anterior L sin(theta), como fácilmente se deduce de la figura de arriba. Finalmente,

La mejor forma de escudriñar la expresión anterior consiste en hacer una representación gráfica de la misma, situando el ángulo en abscisas y la distancia alcanzada por Tarzán en ordenadas. Así, para unos valores numéricos de lo más razonables como pueden ser una velocidad en carrera para nuestro héroe de 36 km/h, una liana de 3 metros de longitud situada a una altura de 1 metro sobre el suelo, el ángulo óptimo resulta ser de algo más de 39° (ver dibujo bajo estas líneas).

(Continuará...)