El péndulo de la muerte: ¿ficción o realidad?

“Tanteando en la mampostería que bordeaba el pozo logré desprender un fragmento menudo y lo tiré al abismo. Durante largos segundos escuché cómo repercutía al golpear en su descenso las paredes del pozo; hubo, por fin, un chapoteo en el agua, al cual sucedieron sonoros ecos.”

El fragmento anterior corresponde a uno de los relatos breves más célebres de Edgar Allan Poe: El pozo y el péndulo (The pit and the pendulum) publicado en 1842. En él se narra la aterradora experiencia de un hombre anónimo sentenciado a muerte durante la oscura época de la Inquisición española.

A lo largo de las breves pero intensas páginas que conforman el relato se describen las dramáticas sensaciones por las que pasa el protagonista, condenado a una terrible tortura. Encerrado en lo más profundo y oscuro de una cripta, una cuerda pende fija del techo oscilando de un lado a otro, como si se tratase del péndulo de un antiguo reloj de pared, en cuyo extremo móvil se encuentra una enorme hoja afilada en forma de media luna.

“Yacía ahora de espaldas, completamente estirado, sobre una especie de bastidor de madera.”

De esta guisa, atado firmemente, excepto por uno de sus brazos, que le permite acceder con cierta dificultad al plato de comida, el hombre va observando con horror cómo el péndulo va descendiendo paulatinamente hasta que por fin selle su terrorífico destino para siempre.

“Mirando hacia arriba observé el techo de mi prisión. Tendría unos treinta o cuarenta pies de alto, y su construcción se asemejaba a la de los muros.”

Bien, como esto de los pies es una unidad de longitud un tanto anglosajona, consideraré que la mazmorra tenía una altura de algo más de 10 metros (10 metros exactamente desde el techo hasta el tórax del prisionero y unas cuantas decenas de centímetros más desde éste hasta el suelo, contando con el espesor de su cuerpo y la altura del bastidor de madera sobre el que se encontraba tumbado).

En cuanto al tamaño del cubículo, también disponemos de una vaga descripción por parte del protagonista. En uno de los párrafos afirma lo siguiente:

“Mucho me había equivocado sobre su tamaño. El circuito completo de los muros no pasaba de unas veinticinco yardas [...] Mi prisión tenía forma cuadrada.”

¡Vaya! Ya estamos otra vez con las puñeteras unidades que no son del Sistema Internacional. En fin, admitiré que el lado del cuadrado era de 5 metros de longitud, es decir, la cuchilla podía oscilar horizontalmente a cada lado no más de 2,5 metros desde su posición natural de equilibrio, la vertical.

Al principio, el hombre observa el péndulo en las alturas, relativamente lejos de su alcance, pero...

“Habría pasado una media hora, quizá una hora entera […] antes de volver a fijar los ojos en lo alto. […] La carrera del péndulo había aumentado, aproximadamente, en una yarda. Como consecuencia natural, su velocidad era mucho mayor. Pero lo que me perturbó fue la idea de que el péndulo había descendido perceptiblemente.”

Ahora es cuando os tengo que recordar que desempolvéis vuestros olvidados conocimientos de física, en concreto, el requete-archi-repetido péndulo simple. ¿Os viene a la memoria? Bueno, pues lo más relevante de este dispositivo, formado por una cuerda en cuyo extremo oscilante se coloca un pequeño objeto sin masa denominado, comúnmente, lenteja, es que su período no depende en absoluto de la amplitud angular, sino únicamente de la longitud de la cuerda. ¿Qué significa esto? Pues que si utilizáis siempre el mismo péndulo pero lo dejáis oscilar soltándolo desde posiciones distintas (más cerca o más lejos de la posición vertical, como os apetezca) comprobaréis que el tiempo que tarda en recorrer una oscilación completa, de un extremo al otro y vuelta de nuevo a la posición inicial, es siempre el mismo (a este lapso de tiempo se le denomina período del péndulo, y el ángulo que forma la cuerda con la vertical recibe el nombre de amplitud angular). Solamente conseguiréis que el período aumente si incrementáis la longitud de la cuerda (análogamente, que disminuya el período acortando la longitud de la misma).

Según esto, la pregunta que surge es la siguiente: ¿se comporta el péndulo del relato de Edgar A. Poe como un péndulo simple? Obviamente, la respuesta es no, como vosotros mismos podéis deducir de lo dicho por el reo dos párrafos más arriba. No hay manera de que descendiendo el péndulo perceptiblemente, es decir, de que aumentando su longitud, la carrera de aquél aumente a su vez. Así pues, ¿cómo solucionar esta cuestión?

Veamos, la forma más fácil que se me ocurre de salir del aprieto en que os he puesto es decir la verdad y la verdad no es otra que ésta: vuestros profesores os engañaron. Los péndulos simples no existen. En realidad, lo que vuestros profesores os explicaron en su día es que un péndulo se comporta, aproximadamente, como simple cuando la amplitud angular es pequeña, esto es, cuando lo dejáis oscilar soltándolo desde una posición muy cerquita de la vertical. En este caso, la ecuación matemática que rige su comportamiento se puede simplificar notablemente y su resolución es extremadamente sencilla, y es la que casi todos conocéis. Sin embargo, la ecuación rigurosa, la verdadera, para entendernos, resulta algo más compleja, al igual que su solución.

Bien, intentemos solucionar la ecuación rigurosa, la buena, la que describe las oscilaciones de un péndulo que no se comporta como simple. En la literatura científica se pueden hallar expresiones analíticas exactas para la solución de la ecuación anterior, pero involucran a las denominadas funciones de Bessel y no me detendré ahora en ellas. En cambio, sí que resulta mucho más interesante resolver el problema de forma numérica, es decir, acudiendo a las simulaciones mediante el empleo de un ordenador y un software adecuado.

Figura 1

Cuando se procede de esta manera, es necesario hacer ciertas suposiciones que sean razonables. Una de estas suposiciones consiste en admitir que la velocidad a la que aumenta la longitud del péndulo es constante. Al hacer esto, se comprueba inmediatamente que aunque la distancia horizontal que recorre la cuchilla que pende del extremo de la cuerda va aumentando lentamente (Figura 1: el eje de abscisas representa la distancia horizontal recorrida por la cuchilla, mientras que el eje de ordenadas da cuenta de la longitud de la cuerda. Mirad la gráfica de arriba abajo y veréis las oscilaciones del péndulo a medida que desciende y cómo la distancia horizontal alcanzada por la hoja asesina aumenta lentamente), no sucede lo mismo con la amplitud angular, la cual disminuye ostensiblemente a medida que va transcurriendo el tiempo (Figura 2: el eje de abscisas representa el tiempo en segundos y el eje de ordenadas el ángulo descrito por el péndulo respecto a la vertical. Se ve fácilmente la rápida disminución de la amplitud angular con el tiempo, es decir, a medida que el péndulo va descendiendo hacia el condenado). Por poner unos números que ilustren lo dicho, imaginemos que la longitud de la cuerda crece a un ritmo constante de 10 centímetros cada segundo. Si el péndulo que amenaza la vida del prisionero tuviese una longitud inicial de 10 metros (y daos cuenta de que esta longitud es ya la más pesimista, la que despedazaría a nuestro protagonista, según afirmamos más arriba, en base a sus propias estimaciones visuales) y lo soltásemos desde una posición que formase un ángulo justo por encima de unos 57º (1 radián) con la vertical, al cabo de tan sólo dos minutos, la amplitud angular habría descendido hasta la mitad, unos 28º. Mientras tanto, la distancia a la que habría descendido la cuchilla se habría incrementado hasta los 22 metros.

Figura 2

Una vez llegados a este punto, parece que el relato de Poe no se ajusta excesivamente a los resultados que nos proporcionan las simulaciones mediante ordenador. Así como en unas partes del texto el condenado admite que el péndulo ha descendido perceptiblemente en una media hora, quizá una hora, más adelante podemos leer lo siguiente:

“Pulgada a pulgada, con un descenso que sólo podía apreciarse después de intervalos que parecían siglos…, más y más íbase aproximando. Pasaron días, puede ser que muchos días, antes de que oscilara tan cerca de mí que parecía abanicarme con su acre aliento. [...] Ya pasaba vibrando a tres pulgadas de mi pecho.”

El párrafo anterior parece contradecir el "perceptible" descenso del péndulo en otro momento de la narración en tan sólo unos cuantos minutos. De hecho, admitiendo el caso más benévolo en el párrafo previo, o sea, que hubiesen transcurrido únicamente dos días, la velocidad de descenso de la cuchilla rondaría los 19 centímetros por hora. ¿A qué se debe esta discordancia? ¿Constituye una mera licencia literaria del autor? ¿Es el resultado de la, comprensiblemente, perturbada mente y errónea percepción del tiempo por parte del prisionero, a punto de encontrarse cara a cara con la muerte? ¿O puede explicarse físicamente, de alguna manera?

Me centraré en este último interrogante, como no puede ser de otra forma en un blog dedicado a la física. ¿Qué esperabais? Para soluciones relacionadas con la psicología podéis acudir a sitios menos divertidos y más apropiados.

Me vais a permitir que os sugiera una solución un tanto retorcida y algo sofisticada para que el comportamiento del péndulo del relato se aproxime a la realidad del relato de Poe. Para ello, os vuelvo a pedir que hagáis un poco de memoria y retrocedáis por un momento a vuestra infancia. Cerrad los ojos e imaginaos que estáis subidos en un columpio del parque. Comenzáis a impulsaros y queréis ir cada vez más arriba en vuestro alucinante viajecito. ¿Qué hacíais? ¿No estirabais las piernas cuando llegabais al punto más alto y después las encogíais, las plegabais al pasar por la vertical? ¿Y no veis una semejanza manifiesta entre un columpio y el péndulo mortal y la cuchilla del relato que nos ocupa? Pues eso...

Figura 3

Bien, imaginemos entonces que los malvados inquisidores han dispuesto un dispositivo consistente en hacer pasar la cuerda del péndulo por un pequeño orificio practicado en el techo de la cripta y que dicho dispositivo está equipado con un mecanismo que tira de la cuerda hacia arriba cuando la cuchilla pasa por la posición vertical, mientras que permite que la cuerda se deslice hacia abajo, soltándola, y aumente de longitud cuando pasa por ambos extremos de la oscilación. Y un último detalle: la longitud de la cuerda que recoge la maquinaria al pasar por la vertical debe ser siempre inferior a la longitud que la deja estirarse al pasar por los dos puntos más altos de la cuchilla a lo largo de su movimiento de vaivén. Con esto los monjes se aseguran de que la longitud neta del péndulo siempre aumente en cada ciclo. Los físicos englobamos bajo el término genérico de oscilaciones forzadas a procedimientos como el descrito.

Figura 4

Así, cuando la fuerza que debe aplicar el mecanismo para tirar de la cuerda hacia arriba es mayor que aquella con la que la impulsa hacia abajo al pasar el péndulo por las posiciones correspondientes, lo que se consigue, una vez simulado nuevamente en el ordenador, es que la amplitud angular de las oscilaciones disminuya de forma más acusada que para el primer caso que os contaba, el del alargamiento con velocidad constante del péndulo (Figura 3: mirad, una vez más, la gráfica de arriba abajo y veréis que las oscilaciones del péndulo se van acortando, es decir, se amortiguan con el tiempo y a medida que la longitud de la cuerda se incrementa en cada ciclo). En el caso contrario, es decir, si el dispositivo regulador de la longitud de la cuerda aplica menor fuerza para reducirla que para incrementarla, entonces se observa que la amplitud de las oscilaciones de la cuchilla puede llegar a aumentar de forma realmente dramática (Figura 4: ídem que la figura 3 en lo que respecta a la forma de mirar el gráfico, pero se percibe muy claramente ahora que las oscilaciones comienzan siendo pequeñas para, rápidamente, amplificarse de forma extraordinaria, especialmente en el caso de la derecha); incluso podría darse el caso en que la mortal cuchilla describiese una circunferencia completa (siempre que la cuerda se mantuviese completamente rígida, obviamente). Y esto sí que encajaría con las impresiones y sucesos narrados por el prisionero, aunque siempre teniendo en cuenta la escasa, en ocasiones, información relevante desde un punto de vista científico que nos aporta el autor. Al fin y al cabo, solamente estamos hablando de literatura de ficción, ¿no es así? Sea como fuere, el caso es que...

“Vi que después de diez o doce oscilaciones el acero se pondría en contacto con mi ropa.”

Con esta entrada participo en la XLVIII Edición del Carnaval de la Física, alojado esta vez en el blog de Daniel Martín Reina (@monzonete) La Aventura de la Ciencia.

Fuente original:

Matthew McMillan, David Blasing, and Heather M. Whitney Radial forcing and Edgar Allan Poe's lengthening pendulum, American Journal of Physics, Vol. 81 (9), September 2013